\int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \cdot f(\sin(x)) \, dx belirli integralinde u = \sin(x) değişken … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \cdot f(\sin(x)) \, dx

belirli integralinde

u = \sin(x)

değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

\int_{0}^{1} f(u) \, du

ifadesi

Doğru seçenekte belirtilen integral,

u = \sin(x)

dönüşümüyle elde edilen sınırların (

0

1

) ve diferansiyelin (

du = \cos(x) \, dx

) doğru şekilde yerleştirilmesiyle elde edilir.

Dönüşüm değişkenini belirleyip her iki tarafın diferansiyelini alınız.

u = \sin(x)

ise

du = \cos(x) \, dx

olur.

İntegral içindeki

dx

terimini yeni değişken

u

cinsinden yazabilmek için diferansiyel ilişkisi kurulmalıdır.

Belirli integralin sınırlarını yeni değişken

u

cinsinden güncelleyiniz.

Alt sınır için

x = 0 \implies u = \sin(0) = 0

olur. Üst sınır için

x = \pi/2 \implies u = \sin(\pi/2) = 1

olur.

Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

Bulunan diferansiyel ve sınır değerlerini orijinal integralde yerine yazınız.

\int_{0}^{\pi/2} f(\sin(x)) \cdot \cos(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(u) \, du

elde edilir.

Tüm bileşenler yeni değişken

u

cinsinden ifade edilerek dönüşüm tamamlanır.

Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak belirli integralin sınırlarının ve diferansiyelinin güncellenmesi.

Soru