Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ve Özellikleri
[1,7][1, 7] kapalı aralığında sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(x) dx=10\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 10
ve
∫25f(2x−3) dx=8\int_{2}^{5} f(2x - 3) \, dx = 8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫47(f(x)+2) dx\int_{4}^{7} (f(x) + 2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?

Cevap: 12

Cevap

Belirli integralin özellikleri kullanılarak elde edilen sonuç 12'dir.
Verilen ikinci integralde değişken değiştirme yapılarak sınırların güncellenmesiyle [1,7][1, 7] aralığındaki integral değeri 16 olarak bulunur. Ardından aralık bölme özelliği kullanılarak [4,7][4, 7] aralığındaki integral değeri 6 olarak elde edilir. Son olarak doğrusal parçalama ile bu değere sabit olan 2 sayısının aynı aralıktaki integrali (yani 6) eklenerek doğru cevap 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanarak sınırlar ve ifade düzenlenir.
∫17f(x) dx=16\int_{1}^{7} f(x) \, dx = 16
u=2x−3u = 2x - 3 dönüşümüyle sınırları ve diferansiyel ifadesini (dx=du2dx = \frac{du}{2}) güncellemek için.
2
Belirli integralin sınırları bölme özelliği uygulanarak bilinmeyen aralıktaki integral değeri hesaplanır.
∫47f(x) dx=6\int_{4}^{7} f(x) \, dx = 6
[1,7][1, 7] aralığındaki integrali [1,4][1, 4] ve [4,7][4, 7] aralıklarına bölerek bilinen değerlerden yararlanmak için.
3
İstenen integral ifadesi doğrusal olarak parçalanarak hesaplanır.
∫47(f(x)+2) dx=12\int_{4}^{7} (f(x) + 2) \, dx = 12
Toplama halindeki integral ifadesini fonksiyonun integrali ile sabit terimin integralinin toplamı şeklinde yazıp hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme, aralık bölme ve doğrusallık özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru