\sin(2x) = \cos(x) denkleminin [0, \pi] kapalı aralığında kaç farklı kökü vardır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$\sin(2x) = \cos(x)$ denkleminin $[0, \pi]$ kapalı aralığında kaç farklı kökü vardır?

Cevap: 3

Denklemin

[0, \pi]

kapalı aralığındaki kök sayısı 3'tür.

Denklemin

[0, \pi]

aralığında

\cos(x) = 0

eşitliğini sağlayan

x = \frac{\pi}{2}

olmak üzere 1 kökü ve

\sin(x) = \frac{1}{2}

eşitliğini sağlayan

x = \frac{\pi}{6}

ile

x = \frac{5\pi}{6}

olmak üzere 2 kökü vardır. Bu köklerin hepsi birbirinden farklı olup toplam kök sayısı 3'tür.

Yarım açı formülü uygulanır.

2\sin(x)\cos(x) = \cos(x)

Sinüs yarım açı özdeşliği olan

\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)

eşitliği kullanılarak denklem düzenlenir.

İfade çarpanlarına ayrılır.

\cos(x)(2\sin(x) - 1) = 0

Sadeleştirme nedeniyle kök kaybetmemek için tüm terimler bir tarafa toplanıp ortak paranteze alınır.

Çarpanlar sıfıra eşitlenerek basit denklemler kurulur.

\cos(x) = 0

veya

2\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2}

Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.

[0, \pi]

aralığındaki kökler bulunur.

\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}

\sin(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}

Fonksiyonların

[0, \pi]

aralığındaki değerleri incelenerek uygun açı değerleri belirlenir.

Trigonometrik denklemlerde çarpanlara ayırma yöntemi ve belirli bir aralıktaki köklerin bulunması.

Soru