\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx belirli integralinde u = x^2 + 1 dönü… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx

belirli integralinde $u = x^2 + 1$ dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

A
$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{u-1}{2\sqrt{u}} \, du$
B
$\int_{1}^{4} \frac{u-1}{\sqrt{u}} \, du$
$\int_{1}^{4} \frac{u-1}{2\sqrt{u}} \, du$ Cevap
D
$\int_{1}^{4} \frac{u+1}{2\sqrt{u}} \, du$
E
$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{u-1}{\sqrt{u}} \, du$

Cevap

Değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesiyle elde edilen doğru integral ifadesi, sınırları 1'den 4'e kadar olan ve paydasında 2\sqrt{u} bulunan integraldir.

Dönüşüm yapıldığında sınırların güncellenmesiyle alt sınır 1, üst sınır 4 olur. Ayrıca x^3 dx = x^2 * x dx yazılarak x^2 = u - 1 ve x dx = du/2 ifadeleri yerine konduğunda doğru integral elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Değişken değiştirme bağıntısını ve diferansiyelini belirleme

u = x^2 + 1 \implies du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}

İntegral içindeki

x^3 \, dx

ifadesini

x^2 \cdot (x \, dx)

şeklinde yazarak yeni değişken cinsinden ifade etmek için.

Belirli integralin sınırlarını güncelleme

Alt sınır:

x = 0 \implies u = 0^2 + 1 = 1

, Üst sınır:

x = \sqrt{3} \implies u = (\sqrt{3})^2 + 1 = 4

Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da bu değişime uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.

İfadeleri integralde yerine yazarak yeni integrali elde etme

\int_{1}^{4} \frac{u-1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \int_{1}^{4} \frac{u-1}{2\sqrt{u}} \, du

Tüm terimleri ve sınırları

u

cinsinden yazıp integral ifadesini tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ifadesinin doğru biçimde yazılması gerekir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru