f(x) = (x^2 - 4x - 12) \cdot (x - 1)^3 olmak üzere, \frac{f(x-3) \cdot (x^2 - 9)}{f(x+1) \cdot (x^2 - 4x + 4)} \leq 0 \neşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?

f(x) = (x^2 - 4x - 12) \cdot (x - 1)^3 olmak üzere, \frac{f(x-3) \cdot (x^2 - 9)}{f(x+1) \… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = (x^2 - 4x - 12) \cdot (x - 1)^3

olmak üzere,

\frac{f(x-3) \cdot (x^2 - 9)}{f(x+1) \cdot (x^2 - 4x + 4)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 38

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı 38'dir.

Eşitsizlik tablosu oluşturulurken pay ve payda kökleri doğru bir şekilde tespit edilip, çift katlı köklerde işaretin korunacağı ve payda köklerinin tanımsızlık nedeniyle çözüm kümesine dahil edilmeyeceği göz önünde bulundurulduğunda, negatif veya sıfır olan bölgelerin

(0, 1] \cup [3, 4] \cup (5, 9]

olduğu görülür. Bu aralıklardaki tam sayıların toplamı 38'dir.

Adım Adım Çözüm

f(x) fonksiyonunun çarpanlara ayrılması

f(x) = (x-6)(x+2)(x-1)^3

f(x-3)

f(x+1)

ifadelerinin çarpanlarını doğrudan elde edebilmek için temel fonksiyonu çarpanlarına ayırırız.

f(x-3) ve f(x+1) ifadelerinin oluşturulması

f(x-3) = (x-9)(x-1)(x-4)^3

f(x+1) = (x-5)(x+3)x^3

Ana fonksiyondaki

x

değişkeninin yerine sırasıyla

(x-3)

(x+1)

yazarak ötelenmiş fonksiyonları buluruz.

Eşitsizlik ifadesinin çarpanlar cinsinden düzenlenmesi

E(x) = \frac{(x-9)(x-1)(x-4)^3 \cdot (x-3)(x+3)}{(x-5)(x+3)x^3 \cdot (x-2)^2} \leq 0

Eşitsizliğin tüm pay ve payda çarpanlarını bir araya getirerek kök analizi yapmaya hazır hale getiririz.

Köklerin ve katlarının belirlenmesi

Kökler küçükten büyüğe:

-3, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 9

. Köklerin katları:

x = -3

(çift katl��, tanımsız),

x = 0

(tek katlı, tanımsız),

x = 1

(tek katlı, tanımlı),

x = 2

(çift katlı, tanımsız),

x = 3

(tek katlı, tanımlı),

x = 4

(tek katlı, tanımlı),

x = 5

(tek katlı, tanımsız),

x = 9

(tek katlı, tanımlı).

Payda kökleri tanımsızlık yarattığı için çözüm kümesine alınamaz.

x = -3

hem pay hem paydada yer aldığından sadeleşir fakat paydayı sıfır yaptığı için tanımsızdır.

x = 2

ise çift katlı payda köküdür.

İşaret tablosunun oluşturulması ve aralıkların belirlenmesi

İşaret tablosu en sağda

+

ile başlar. İşaretler sırasıyla:

x > 9

için

+

(5, 9]

için

-

[4, 5)

için

+

[3, 4]

için

-

(2, 3]

için

+

[1, 2)

için

+

(0, 1]

için

-

(-3, 0)

için

+

x < -3

için

+

. Eşitsizliği sağlayan aralıklar:

(0, 1] \cup [3, 4] \cup (5, 9]

olarak bulunur.

En büyük dereceli terimlerin katsayıları çarpımı pozitif olduğu için tabloya

+

ile başlanır. Tek katlı köklerde işaret değiştirilir, çift katlı köklerde (

x = 2

ve sadeleşen

x = -3

) işaret değiştirilmez.

Tam sayı çözümlerinin belirlenmesi ve toplamın hesaplanması

x

tam sayıları:

1

(ilk aralıktan);

3, 4

(ikinci aralıktan);

6, 7, 8, 9

(üçüncü aralıktan). Toplam:

1 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 = 38

Aralıklardaki dahil olan sınır değerleri ve aralarındaki tam sayılar belirlenerek toplanır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerde Kök Analizi, Çift Katlı Kökler ve Tanımsızlık Koşulları

Alternatif Yöntem

Grafiksel yorumlama yöntemiyle,

f(x)

fonksiyonunun kabataslak grafiği çizilerek veya köklerin

x

eksenini kestiği yerlerdeki işaret durumları kontrol edilerek

f(x-3)

f(x+1)

fonksiyonlarının davranışları doğrudan incelenebilir. Ancak cebirsel olarak çarpanlara ayırma yöntemi hata payını en aza indiren en güvenli yöntemdir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru