f(x) = \log_{x-3}(10 - x) + \log_2(16 + 6x - x^2) fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \log_{x-3}(10 - x) + \log_2(16 + 6x - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre,

f(x)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 18'dir.

Doğru cevap olan 18 değeri, her iki logaritma ifadesini de tanımlı kılan tam sayıların (

5, 6

7

) toplamıdır.

İlk logaritma teriminin tabanının tanım koşulların�� belirleyelim.

x > 3

x \neq 4

Bir logaritmanın tabanı sıfırdan büyük ve birden farklı olmak zorundadır. Dolayısıyla

x - 3 > 0 \implies x > 3

x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4

olmalıdır.

İlk logaritma teriminin argümanının (içinin) tanım koşulunu belirleyelim.

x < 10

Logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır. Dolayısıyla

10 - x > 0 \implies x < 10

olmalıdır.

İkinci logaritma teriminin argümanının (içinin) tanım koşulunu belirleyelim.

-2 < x < 8

Logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır:

16 + 6x - x^2 > 0

. Bu eşitsizliği çözmek için ifadeyi eksi ile çarpıp çarpanlarına ayırırsak

x^2 - 6x - 16 < 0 \implies (x - 8)(x + 2) < 0

elde edilir. Kökler

-2

8

olup eşitsizlik tablosu incelendiğinde çözüm aralığı

-2 < x < 8

bulunur.

Bulunan tüm koşulların kesişimini alarak fonksiyonun en geniş tanım kümesini oluşturalım.

3 < x < 8

x \neq 4

x > 3

x \neq 4

x < 10

-2 < x < 8

aralıklarının ortak kesişimi

3 < x < 8

aralığından

4

değerinin çıkarılmasıyla oluşur.

Tanım kümesindeki tam sayıları belirleyip toplayalım.

Tanım kümesindeki tam sayılar

5, 6

7

sayılarıdır. Bu sayıların toplamı

5 + 6 + 7 = 18

olarak hesaplanır.

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının (içinin) ise pozitif olması gerekir.

Soru