Examkin

Soru

Zorluk: ZorLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡6−x(x2−4xx2−7x+10)+x+3f(x) = \log_{6-x}\left(\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 7x + 10}\right) + \sqrt{x+3}

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçt��r?

Cevap: -3

Cevap

En geniş tanım kümesindeki farklı tam sayı değerlerinin toplamı -3'tür.
Kareköklü ifadenin tanımlı olması için x≥−3x \geq -3, logaritma tabanı için x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5 olmalıdır. Rasyonel ifadenin pozitif olduğu aralıklar işaret tablosuyla (−∞,0)∪(2,4)∪(5,∞)(-\infty, 0) \cup (2, 4) \cup (5, \infty) olarak bulunur. Tüm bu aralıkların kesişiminden en geniş tanım kümesi [−3,0)∪(2,4)∪(5,6)[-3, 0) \cup (2, 4) \cup (5, 6) elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar −3,−2,−1-3, -2, -1 ve 33 olup toplamları −3-3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin tanımlı olma aralığını bulma
x≥−3x \geq -3
Çift dereceden köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içi sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
2
Logaritma tabanının tanımlı olma şartlarını belirleme
x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5
Logaritma tabanının pozitif ve 1'den farklı olması gerekir: 6−x>06 - x > 0 ve 6−x≠16 - x \neq 1.
3
Logaritma argümanının pozitif olma şartını belirleme
x∈(−∞,0)∪(2,4)∪(5,∞)x \in (-\infty, 0) \cup (2, 4) \cup (5, \infty)
Logaritmanın tanımlı olması için içerideki rasyonel ifadenin pozitif olması gerekir. x(x−4)(x−2)(x−5)>0\frac{x(x-4)}{(x-2)(x-5)} > 0 eşitsizliğinin kökleri 0,2,4,50, 2, 4, 5 olup işaret tablosunda sağdan sola doğru +,−,+,−,++ , - , + , - , + şeklinde dizilir.
4
Eşitsizliklerin kesişimini alma ve tam sayı değerlerini toplama
Tam sayılar: −3,−2,−1,3-3, -2, -1, 3. Toplam: −3-3
Bulunan tüm şartlar (x≥−3x \geq -3, x<6x < 6, x≠5x \neq 5 ve rasyonel ifadenin pozitif olduğu bölgeler) kesiştirilerek en geniş tanım kümesi [−3,0)∪(2,4)∪(5,6)[-3, 0) \cup (2, 4) \cup (5, 6) olarak elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise pozitif olması gerekir. Eşitsizlik sistemlerinin çözümünde her bir şartın ortak kesişim kümesi alınır.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi