Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKoşullu Olasılık

Bir laboratuvarda geliştirilen bir hızlı tanı testinin, belirli bir hastalığa sahip olan bir kişide pozitif sonuç verme olasılığı \%90'dır. Bu testin, sağlıklı bir kişide hatalı bir şekilde pozitif sonuç verme (yalancı pozitif) olasılığı ise \%5'tir.

Bir topluluğun \%10'unun bu hastalığa sahip olduğu bilinmektedir. Bu topluluktan rastgele seçilen bir kişiye uygulanan testin sonucu pozitif çıktığına göre, bu kişinin gerçekten hasta olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    9100\frac{9}{100}
  2. B
    914\frac{9}{14}
  3. 23\frac{2}{3}Cevap
  4. D
    910\frac{9}{10}
  5. E
    2027\frac{20}{27}

Cevap

23\frac{2}{3}
Testin pozitif çıktığı bilindiğine göre, örnek uzayımız sadece pozitif test sonucu veren durumlar ile sınırlanır. Bu sınırlı örnek uzayında gerçekten hasta olanların oranı, tüm pozitif sonuçlar içindeki hasta ve pozitif olanların oranına eşittir. Bu oran iki bölü üç olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Hastalık ve test sonuçlarına ilişkin olayları tanımlayarak olasılıklarını belirlemek.
Hasta olma olayı HH olsun, bu durumda P(H)=010P(H) = 0{}10 ve sağlıklı olma olayı SS olsun, P(S)=090P(S) = 0{}90. Testin pozitif sonuç vermesi olayı PP olsun. Verilen koşullu olasılıklar: P(P∣H)=090P(P|H) = 0{}90 ve P(P∣S)=005P(P|S) = 0{}05'tir.
Koşullu olasılık formülünü uygulamak için gerekli olan temel bileşenleri belirlemek.
2
Pozitif test sonucunun ve hastalığın birlikte gerçekleşme olasılığını (P(H∩P)P(H \cap P)) hesaplamak.
P(H∩P)=P(H)×P(P∣H)=010×090=009P(H \cap P) = P(H) \times P(P|H) = 0{}10 \times 0{}90 = 0{}09.
İstenen koşullu olasılığın pay kısmını bulmak.
3
Testin pozitif sonuç verme toplam olasılığını (P(P)P(P)) hesaplamak.
P(P)=P(H∩P)+P(S∩P)=009+P(S)×P(P∣S)=009+090×005=009+0045=0135P(P) = P(H \cap P) + P(S \cap P) = 0{}09 + P(S) \times P(P|S) = 0{}09 + 0{}90 \times 0{}05 = 0{}09 + 0{}045 = 0{}135.
Koşullu olasılık formülünün payda kısmını (daraltılmış örnek uzayını) oluşturmak.
4
Test sonucu pozitif olan bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığını (P(H∣P)P(H|P)) hesaplamak.
P(H∣P)=P(H∩P)P(P)=0090135=90135=23P(H|P) = \frac{P(H \cap P)}{P(P)} = \frac{0{}09}{0{}135} = \frac{90}{135} = \frac{2}{3}.
Koşullu olasılık tanımını uygulayarak nihai sonucu elde etmek.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Olasılık

Bu konudan daha fazla soru