Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorManyetik Kuvvet

Yatay düzlemle θ\theta açısı yapan, sürtünmesiz ve yalıtkan bir eğik düzlem üzerine; sayfa düzlemine dik, içeriye doğru sabit II akımı taşıyan, mm kütleli ve LL uzunluğundaki iletken bir tel yerleştirilmiştir. Bu telin eğik düzlem üzerinde hareketsiz kalabilmesi için sisteme düzgün bir manyetik alan uygulanmaktadır.

Bu düzenekte iki farklı durum ayrı ayrı gerçekleştiriliyor:
- Durum I: Düzgün ve düşey yukarı doğru B⃗1\vec{B}_1 manyetik alanı uygulanarak telin hareketsiz kalması sağlanıyor. Bu durumda eğik düzlemin tele uyguladığı normal kuvvetin büyüklüğü N1N_1 oluyor.
- Durum II: Eğik düzlem yüzeyine dik ve dışarı doğru yönelmiş düzgün B⃗2\vec{B}_2 manyetik alanı uygulanarak telin hareketsiz kalması sağlanıyor. Bu durumda eğik düzlemin tele uyguladığı normal kuvvetin büyüklüğü N2N_2 oluyor.

Buna göre, eğik düzlem yüzeyinin tele uyguladığı normal kuvvetlerin büyüklüklerinin oranı olan N1N2\frac{N_1}{N_2} ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. 1cos⁡2θ\frac{1}{\cos^2\theta}Cevap
  2. B
    cos⁡2θ\cos^2\theta
  3. C
    1cos⁡θ\frac{1}{\cos\theta}
  4. D
    1
  5. E
    1sin⁡2θ\frac{1}{\sin^2\theta}

Cevap

Eğik düzlemin tele uyguladığı normal kuvvetlerin büyüklüklerinin oranı olan 1cos⁡2θ\frac{1}{\cos^2\theta} ifadesidir.
Durum I'de yatay doğrultudaki manyetik kuvvet, teli eğik düzlem yüzeyine doğru bastırır. Bu doğrultudaki kuvvet dengesi yazıldığında, normal kuvvet yerçekimi bileşeni ile bu basma bileşeninin toplamına eşit olup N1=mgcos⁡θN_1 = \frac{mg}{\cos\theta} bulunur. Durum II'de ise manyetik kuvvet eğik düzlem yüzeyine paralel ve yukarı yönlü olduğundan, yüzeye dik doğrultuda bir bileşeni yoktur. Dolayısıyla bu durumdaki normal kuvvet sadece yerçekimi bileşenine eşit olup N2=mgcos⁡θN_2 = mg \cos\theta olur. İki normal kuvvet oranlandığında 1cos⁡2θ\frac{1}{\cos^2\theta} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Durum I için tele etki eden kuvvetleri belirleme ve eğik düzleme paralel doğrultuda denge şartını yazma.
Düşey yukarı yönlü B⃗1\vec{B}_1 manyetik alanı ve içeri doğru akım taşıyan tel için sağ el kuralı uygulandığında, manyetik kuvvet yatay ve sağa doğru FM1F_{M1} olarak bulunur. Eğik düzlem üzerindeki denge için: FM1cos⁡θ=mgsin⁡θ  ⟹  FM1=mgtan⁡θF_{M1} \cos\theta = mg \sin\theta \implies F_{M1} = mg \tan\theta elde edilir.
Telin eğik düzlem boyunca kaymaması için manyetik kuvvetin eğik düzleme paralel bileşeni, yerçekimi kuvvetinin eğik düzleme paralel bileşenini (mgsin⁡θmg \sin\theta) dengelemelidir.
2
Durum I için eğik düzleme dik doğrultudaki kuvvet dengesini yazarak normal kuvvet N1N_1'i bulma.
Eğik düzleme dik doğrultuda kuvvet dengesi: N1=mgcos⁡θ+FM1sin⁡θN_1 = mg \cos\theta + F_{M1} \sin\theta şeklindedir. FM1=mgtan⁡θF_{M1} = mg \tan\theta ifadesi yerine yazılırsa: N1=mgcos⁡θ+mgsin⁡2θcos⁡θ=mgcos⁡θN_1 = mg \cos\theta + mg \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} = \frac{mg}{\cos\theta} bulunur.
Eğik düzleme dik doğrultuda net kuvvet sıfır olmalıdır. Yatay manyetik kuvvetin eğik düzleme dik bileşeni, teli düzleme doğru bastırır.
3
Durum II için tele etki eden kuvvetleri belirleme ve eğik düzleme paralel doğrultuda denge şartını yazma.
Eğik düzlem yüzeyine dik ve dışarı doğru yönelmiş B⃗2\vec{B}_2 manyetik alanı için sağ el kuralı uygulandığında, manyetik kuvvet eğik düzlem yüzeyine paralel ve yukarı doğru FM2F_{M2} olarak bulunur. Denge şartından: FM2=mgsin⁡θF_{M2} = mg \sin\theta olur.
Manyetik alan yüzeye dik olduğundan, oluşan manyetik kuvvet doğrudan eğik düzleme paralel doğrultudadır.
4
Durum II için eğik düzleme dik doğrultudaki kuvvet dengesini yazarak normal kuvvet N2N_2'yi bulma.
Manyetik kuvvet eğik düzleme paralel olduğundan dik bileşeni yoktur. Bu doğrultudaki denge: N2=mgcos⁡θN_2 = mg \cos\theta olur.
Eğik düzleme dik doğrultuda teli bastıran tek kuvvet yerçekiminin dik bileşenidir.
5
Bulunan normal kuvvetlerin oranını (N1/N2N_1/N_2) hesaplama.
N1N2=mg/cos⁡θmgcos⁡θ=1cos⁡2θ\frac{N_1}{N_2} = \frac{mg / \cos\theta}{mg \cos\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} elde edilir.
İki durumdaki normal kuvvet ifadeleri birbirine bölünerek oran bulunur.

Anahtar Kavram

İletken tellere manyetik alanda etki eden manyetik kuvvetin yön ve büyüklük analizi ile eğik düzlem üzerindeki statik denge şartları.
Bu soruyu puanla

Konular

Manyetik Kuvvet

Bu konudan daha fazla soru