Examkin

Soru

Zorluk: ZorParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Analitik düzlemde, A(1,3)A(1, 3) noktasından geçen ve eğimi mm olan bir doğru, y=x2−4x+8y = x^2 - 4x + 8 parabolünü kesmemektedir. Buna göre, mm gerçek sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    -15
  2. B
    -12
  3. -10Cevap
  4. D
    -8
  5. E
    -5

Cevap

Doğrunun parabolü kesmemesini sağlayan mm tam sayılarının toplamı −10-10 olmalıdır.
Ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfırdan küçük olması koşulundan elde edilen −2−22<m<−2+22-2 - 2\sqrt{2} < m < -2 + 2\sqrt{2} aralığındaki tam sayılar −4,−3,−2,−1,0-4, -3, -2, -1, 0 değerleridir. Bu değerlerin toplamı −10-10 yaptığı için doğru cevap bu seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğru denklemini yazma
A(1,3)A(1, 3) noktasından geçen ve eğimi mm olan doğrunun denklemi: y−3=m(x−1)  ⟹  y=mx−m+3y - 3 = m(x - 1) \implies y = mx - m + 3 olarak elde edilir.
Parabol ile ortak çözüm yapabilmek için do��runun cebirsel ifadesini oluşturmamız gerekir.
2
Ortak çözüm denklemini elde etme
x2−4x+8=mx−m+3  ⟹  x2−(4+m)x+(m+5)=0x^2 - 4x + 8 = mx - m + 3 \implies x^2 - (4 + m)x + (m + 5) = 0 denklemi elde edilir.
Doğru ile parabolün kesişim noktalarını bulmak amacıyla iki fonksiyonun denklemini birbirine eşitleriz.
3
Kesişmeme koşulu için diskriminant incelemesi
Δ=[−(4+m)]2−4⋅1⋅(m+5)<0  ⟹  m2+8m+16−4m−20<0  ⟹  m2+4m−4<0\Delta = [-(4 + m)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 5) < 0 \implies m^2 + 8m + 16 - 4m - 20 < 0 \implies m^2 + 4m - 4 < 0 eşitsizliği bulunur.
Doğrunun parabolü kesmemesi, ortak çözüm denkleminin gerçel kökünün olmaması, yani diskriminantının sıfırdan küçük olmasıyla mümkündür.
4
Eşitsizlik sınır değerlerini (kökleri) bulma
m2+4m−4=0  ⟹  m=−2±22m^2 + 4m - 4 = 0 \implies m = -2 \pm 2\sqrt{2} kökleri elde edilir. Yaklaşık olarak 22≈2,82\sqrt{2} \approx 2,8 olduğundan, sınır kökler m1≈−4,8m_1 \approx -4,8 ve m2≈0,8m_2 \approx 0,8 olarak hesaplanır. Eşitsizliğin çözüm kümesi (−2−22,−2+22)(-2 - 2\sqrt{2}, -2 + 2\sqrt{2}) aralığıdır.
Eşitsizliğin çözüm aralığını belirlemek amacıyla ilgili ikinci dereceden denklemin sınır köklerini bulmamız gerekir.
5
Tam sayı değerlerini belirleme ve toplama
Belirlenen aralıktaki mm tam sayı değerleri {−4,−3,−2,−1,0}\{-4, -3, -2, -1, 0\} olup, bu değerlerin toplamı (−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0=−10(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 = -10 olarak hesaplanır.
Bulunan aralıkta yer alan mm tam sayılarının toplamına ulaşmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Bir parabol ile bir doğrunun ortak noktalarının olmaması (kesişmemeleri) durumu, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfırdan küçük (Δ<0\Delta < 0) olması koşuluna bağlıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Bu konudan daha fazla soru