Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

(∣x−2∣−3)⋅(x2−9)2(x2−2x−8)⋅(25−x2)≥0 \frac{(|x - 2| - 3) \cdot (x^2 - 9)^2}{(x^2 - 2x - 8) \cdot (25 - x^2)} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: -2

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı -2'dir.
İşaret tablosu doğru oluşturulup payda kökleri dışlandığında, eşitsizliği sağlayan tam sayılar kümesi {-4, -3, -1, 0, 1, 2, 3} olarak elde edilir. Bu sayıların toplamı -2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Payın köklerini ve bu köklerin katlarını belirleme.
∣x−2∣−3=0  ⟹  x=5|x - 2| - 3 = 0 \implies x = 5 (1. kat) ve x=−1x = -1 (1. kat). (x2−9)2=0  ⟹  x=3(x^2 - 9)^2 = 0 \implies x = 3 (2. kat, çift katlı) ve x=−3x = -3 (2. kat, çift katlı).
Çarpım durumundaki ifadelerin köklerini bulup işaret tablosuna yerleştirmek gerekir.
2
Paydanın köklerini belirleme ve tanımsızlık koşullarını yazma.
x2−2x−8=0  ⟹  (x−4)(x+2)=0  ⟹  x=4x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x - 4)(x + 2) = 0 \implies x = 4 (payda kökü, 1. kat) ve x=−2x = -2 (payda kökü, 1. kat). 25−x2=0  ⟹  (5−x)(5+x)=0  ⟹  x=525 - x^2 = 0 \implies (5 - x)(5 + x) = 0 \implies x = 5 (payda kökü, 1. kat) ve x=−5x = -5 (payda kökü, 1. kat). Payda kökleri (x≠4,−2,5,−5x \neq 4, -2, 5, -5) çözüm kümesinden hariç tutulmalıdır.
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız yapar.
3
Köklerin net katlarını analiz etme.
x=5x = 5 kökü hem payın hem paydanın köküdür. Her ikisinde de 1. kattan olduğu için ifadenin genelinde çift katlı kök gibi davranır (işaret değiştirmez), ancak paydada da bulunduğu için çözüm kümesine alınamaz (x≠5x \neq 5). Diğer köklerin net katları tektir.
Aynı kökten hem pay hem paydada bulunması durumunda katların toplamı alınarak işaret değişimi incelenir.
4
İşaret tablosunu oluşturma.
En sağ aralık olan x>5x > 5 için ifadenin işareti negatiftir (−-). İşaret tablosu: x∈(5,∞)  ⟹  −x \in (5, \infty) \implies -, x∈(4,5)  ⟹  −x \in (4, 5) \implies -, x∈(3,4)  ⟹  +x \in (3, 4) \implies +, x∈(−1,3)  ⟹  +x \in (-1, 3) \implies +, x∈(−2,−1)  ⟹  −x \in (-2, -1) \implies -, x∈(−3,−2)  ⟹  +x \in (-3, -2) \implies +, x∈(−5,−3)  ⟹  +x \in (-5, -3) \implies +, x∈(−∞,−5)  ⟹  −x \in (-\infty, -5) \implies -.
Baş katsayıların ve mutlak değerli terimlerin işaretleri incelenerek en sağ aralığın işareti belirlenir ve köklerden geçerken işaret değiştirilir.
5
Çözüm kümesini bulma ve tam sayı değerlerinin toplamını hesaplama.
Eşitsizliğin ≥0\geq 0 olduğu çözüm kümesi: (−5,−2)∪[−1,4)(-5, -2) \cup [-1, 4) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar: −4,−3,−1,0,1,2,3-4, -3, -1, 0, 1, 2, 3'tür. Toplamları ise: (−4)+(−3)+(−1)+0+1+2+3=−2(-4) + (-3) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = -2 olur.
Eşitsizliği sağlayan aralıklardaki tam sayılar toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerde payda köklerinin hariç tutulması, çift katlı köklerde işaretin değişmemesi ve ortak köklerin kat analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru