Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
Gerçel sayılar kümesinde tanıml��
f(x)={∣x2−4x+3∣x−3,x<3x2−2x−a,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4x + 3|}{x - 3}, & x < 3 \\ x^2 - 2x - a, & x \ge 3 \end{cases}
fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limitinin var olması için aa gerçel sayısının değeri 55 olmalıdır.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen fonksiyonun x=3x = 3 noktasında limitinin var olması için aa gerçel sayısının değeri 55 olmalıdır ifadesi doğrudur.
Verilen parçalı fonksiyonun kritik noktası olan x=3x = 3 noktasındaki soldan ve sağdan limitlerinin eşitlenmesi sonucunda a=5a = 5 değeri elde edilir. Bu nedenle önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
x=3x = 3 noktasındaki soldan limitin hesaplanması için mutlak değerli ifadenin işaretinin incelenmesi
x<3x < 3 için x2−4x+3<0x^2 - 4x + 3 < 0 olduğundan ∣x2−4x+3∣=−(x−3)(x−1)|x^2 - 4x + 3| = -(x-3)(x-1) olur.
Soldan yaklaşırken xx değerleri 3'ten küçük olduğu için çarpanların işaretlerini belirleyerek mutlak değer dışına nasıl çıkacağını bulmak gerekir.
2
Soldan limit değerinin bulunması
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−−(x−3)(x−1)x−3=lim⁡x→3−−(x−1)=−2\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{-(x-3)(x-1)}{x-3} = \lim_{x \to 3^-} -(x-1) = -2
Pay ve paydadaki (x−3)(x-3) sadeleştirilerek belirsizlik giderilir ve limit değeri hesaplanır.
3
Sağdan limitin hesaplanması ve limitlerin eşitlenmesi
lim⁡x→3+f(x)=3−a\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3 - a ve soldan limit ile eşitlenirse 3−a=−2  ⟹  a=53 - a = -2 \implies a = 5 bulunur.
Bir noktada limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların kritik noktalarındaki limit incelemesinde sağdan ve soldan limitlerin eşitliği ile mutlak değerin işaret analizinin yapılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Bu konudan daha fazla soru