Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
(9−x2)(x2−2x−8)x2−6x+9≥0 \frac{(9 - x^2)(x^2 - 2x - 8)}{x^2 - 6x + 9} \geq 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı -1'dir.
Verilen eşitsizlik çarpanlarına ayrıldığında ifadenin kritik noktaları −3-3, −2-2, 33 ve 44 olarak bulunur. Paydadaki (x−3)2(x-3)^2 teriminin kökü olan 33 değeri, paydaki (3−x)(3-x) çarpanı ile sadeleştiğinde paydada tek katlı kök olarak kalır ve işareti değiştirir. Yapılan işaret tablosuna göre ifadenin sıfıra eşit veya büyük olduğu bölgeler [−3,−2][-3, -2] ile (3,4](3, 4] aralıklarıdır. Bu aralıklardaki tam sayılar sırasıyla −3-3, −2-2 ve 44 olup toplamları −1-1 değerine ulaşır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikte yer alan tüm polinom ifadelerini çarpanlarına ayırın.
Pay: −(x−3)(x+3)(x−4)(x+2)-(x - 3)(x + 3)(x - 4)(x + 2), Payda: (x−3)2(x - 3)^2
Eşitsizliğin köklerini ve kritik noktalarını belirlemek amacıyla tüm çarpanları görünür hale getiririz.
2
Pay ve paydanın köklerini bularak bunların katlılık durumlarını analiz edin.
Kökler: x=−3x = -3 (tek katlı), x=−2x = -2 (tek katlı), x=3x = 3 (pay ve paydada ortak, sadeleşme sonrası tek katlı tanımsızlık noktası), x=4x = 4 (tek katlı).
Sadeleşen çarpanların kök karakterini (tek/çift katlı) değiştirebileceğini dikkate alarak doğru kök analizini gerçekleştirmek gerekir.
3
İşaret tablosu hazırlayarak eşitsizliğin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıkları belirleyin.
Tabloda sağdan sola sırasıyla (−)(-), (+)(+), (−)(-), (+)(+), (−)(-) işaretleri yer alır. Çözüm kümesi: [−3,−2]∪(3,4][-3, -2] \cup (3, 4]
İfadenin pozitif veya sıfır olduğu bölgeleri saptamak için işaret incelemesi tablosu kullanılır.
4
Çözüm kümesinde yer alan tam sayıları belirleyip toplayın.
Çözüm kümesindeki tam sayılar: −3-3, −2-2 ve 44. Toplamları: −3−2+4=−1-3 - 2 + 4 = -1
Soruda bizden istenen, eşitsizliği sa��layan tam sayıların toplam değeridir.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerde sadeleşen köklerin katlılık durumunun doğru belirlenmesi ve payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru