Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={∣x−2∣x−2+a,x<22x−5,x≥2f(x) = \begin{cases} \frac{|x - 2|}{x - 2} + a, & x < 2 \\ 2x - 5, & x \ge 2 \end{cases}
fonksiyonunun x=2x = 2 noktasında limitinin var olması için aa gerçel sayısının değeri 00 olmalıdır ifadesi doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

İfade doğrudur. Fonksiyonun x=2x = 2 noktasında limitinin var olması için sağ ve sol limitleri birbirine eşit olmalıdır. Sağ limit −1-1 ve sol limit −1+a-1 + a olduğundan a=0a = 0 olmalıdır.
Fonksiyonun x=2x = 2 kritik noktasındaki sağ limiti −1-1 ve soldan limiti mutlak değer işaret analiziyle −1+a-1 + a olarak bulunur. Limitin varlığı için bu iki değer eşitlenmelidir: −1+a=−1  ⟹  a=0-1 + a = -1 \implies a = 0 bulunur. Bu nedenle önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
x=2x = 2 noktasındaki sağdan limiti hesaplayın.
lim⁡x→2+f(x)=lim⁡x→2+(2x−5)=2(2)−5=−1\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - 5) = 2(2) - 5 = -1
x>2x > 2 için fonksiyon f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5 kuralıyla tanımlıdır.
2
x=2x = 2 noktasındaki soldan limiti hesaplayın.
x<2x < 2 için x−2<0x - 2 < 0 olduğundan ∣x−2∣=−(x−2)|x - 2| = -(x - 2) olur. Buradan lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−(−(x−2)x−2+a)=−1+a\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(\frac{-(x - 2)}{x - 2} + a\right) = -1 + a elde edilir.
x<2x < 2 için fonksiyon f(x)=∣x−2∣x−2+af(x) = \frac{|x - 2|}{x - 2} + a kuralıyla tanımlıdır ve mutlak değerin içi negatiftir.
3
Sağ ve sol limitleri eşitleyerek aa değerini bulun.
−1+a=−1  ⟹  a=0-1 + a = -1 \implies a = 0
Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların sınır noktalarındaki limitinin varlığı için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Bu konudan daha fazla soru