Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDeğişken Değiştirme Yöntemi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫24f(2x−3) dx=8\int_{2}^{4} f(2x - 3) \, dx = 8
ve
∫12f(3x−2) dx=5\int_{1}^{2} f(3x - 2) \, dx = 5
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫45f(x) dx\int_{4}^{5} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. 1Cevap
  2. B
    3
  3. C
    11
  4. D
    7
  5. E
    13

Cevap

1
Doğru seçenekte, her iki integral için de değişken değiştirme kuralları tam uygulanmış, sınırlar yeni değişkene göre doğru hesaplanmış ve integralin parçalanabilirliği kullanılarak 1 değeri elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integralde değişken değiştirme yöntemini uygulamak.
u=2x−3  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x - 3 \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} sınırları güncellersek; x=2  ⟹  u=1x = 2 \implies u = 1 ve x=4  ⟹  u=5x = 4 \implies u = 5 olur. Bu durumda, ∫15f(u)du2=8  ⟹  ∫15f(x) dx=16\int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = 8 \implies \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 16 elde edilir.
İntegrali f(x)f(x) cinsinden yazarak sınırları belirlemek için.
2
İkinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulamak.
v=3x−2  ⟹  dv=3 dx  ⟹  dx=dv3v = 3x - 2 \implies dv = 3 \, dx \implies dx = \frac{dv}{3} sınırları güncellersek; x=1  ⟹  v=1x = 1 \implies v = 1 ve x=2  ⟹  v=4x = 2 \implies v = 4 olur. Bu durumda, ∫14f(v)dv3=5  ⟹  ∫14f(x) dx=15\int_{1}^{4} f(v) \frac{dv}{3} = 5 \implies \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 15 elde edilir.
İkinci integrali de f(x)f(x) cinsinden yazarak sınırları belirlemek için.
3
Elde edilen belirli integralleri kullanarak istenen integral değerini hesaplamak.
∫15f(x) dx=∫14f(x) dx+∫45f(x) dx \int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{5} f(x) \, dx olduğundan, 16=15+∫45f(x) dx  ⟹  ∫45f(x) dx=1 16 = 15 + \int_{4}^{5} f(x) \, dx \implies \int_{4}^{5} f(x) \, dx = 1 bulunur.
Belirli integralin aralık parçalama özelliğini kullanarak hedeflenen integrali bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel katsayılarının doğru hesaplanması gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru