Examkin

Soru

Zorluk: ZorLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡8−x(x2−4x−12x−1)f(x) = \log_{8 - x}\left(\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 1}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

  1. A
    0
  2. -1Cevap
  3. C
    5
  4. D
    6
  5. E
    14

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı −1-1 olmalıdır.
Logaritma tanım kuralları gereği tabanın pozitif ve 1'den farklı, logaritma içinin ise pozitif olması gerekir. Bu koşullar kesiştirildiğinde en geniş tanım kümesi (−2,1)∪(6,8)∖{7}(-2, 1) \cup (6, 8) \setminus \{7\} olur. Bu kümedeki tam sayılar −1-1 ve 00 olup toplamları −1-1 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Taban Koşulunun Belirlenmesi
x<8x < 8 ve x≠7x \neq 7
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanın pozitif ve 11'den farklı olması gerekir. Bu durumda 8−x>0⇒x<88 - x > 0 \Rightarrow x < 8 ve 8−x≠1⇒x≠78 - x \neq 1 \Rightarrow x \neq 7 elde edilir.
2
Logaritma İçinin Pozitiflik Koşulu
x∈(−2,1)∪(6,∞)x \in (-2, 1) \cup (6, \infty)
Logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir. x2−4x−12x−1>0\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 1} > 0 eşitsizliğinde payın kökleri x=6x = 6 ve x=−2x = -2, paydanın kökü ise x=1x = 1'dir. Kökler tabloya yerleştirilip en sağdan pozitif işaretle başlanarak işaret tablosu oluşturulduğunda çözüm aralığı (−2,1)∪(6,∞)(-2, 1) \cup (6, \infty) bulunur.
3
Tanım Kümelerinin Kesiştirilmesi
(−2,1)∪(6,8)∖{7}(-2, 1) \cup (6, 8) \setminus \{7\}
Taban koşulundan gelen x<8x < 8 ve x≠7x \neq 7 ko��ulları ile logaritma içinin pozitif olduğu (−2,1)∪(6,∞)(-2, 1) \cup (6, \infty) aralığı kesiştirilmelidir.
4
Tam Sayıların Belirlenmesi ve Toplanması
−1-1
Elde edilen tanım kümesindeki tam sayılar sadece −1-1 ve 00'dır (çünkü 66 ile 88 arasındaki tek tam sayı olan 77 kümeden çıkarılmıştır). Bu sayıların toplamı (−1)+0=−1(-1) + 0 = -1 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulmak için tabanın pozitif ve 1'den farklı, logaritma içinin ise pozitif olması koşullarını birlikte incelemek gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi