Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Analitik düzlemde, y=x2−mx+1y = x^2 - mx + 1 parabolü ile y=x−3y = x - 3 doğrusu farklı iki noktada kesişmektedir. Bu kesişim noktalarının oluşturduğu kirişin orta noktasının koordinatları toplamı 44 olduğuna göre, mm kaçtır?

  1. A
    3
  2. 6Cevap
  3. C
    8
  4. D
    10
  5. E
    13

Cevap

6
Kesişim noktalarının apsisleri toplamının yarısı orta noktanın apsisini (x0=m+12x_0 = \frac{m+1}{2}) verir. Orta nokta doğrunun üzerinde yer aldığı için doğrunun denklemini sağlar ve ordinatı (y0=m−52y_0 = \frac{m-5}{2}) olarak bulunur. Koordinatlar toplamı olan m−2=4m - 2 = 4 eşitliğinden aranan parametre 66 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ile doğrunun kesim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyelim.
x2−mx+1=x−3⇒x2−(m+1)x+4=0x^2 - mx + 1 = x - 3 \Rightarrow x^2 - (m+1)x + 4 = 0 denklemi elde edilir.
Kesişim noktalarının apsisleri bu ortak çözüm denkleminin kökleridir.
2
Kesi��im noktaları AA ve BB olsun. Bu noktaların oluşturduğu [AB][AB] kirişinin orta noktasının apsisini (x0x_0) bulalım.
x0=x1+x22=m+12x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{m+1}{2} olur.
Kirişin orta noktanın apsisi, kesişim noktalarının apsislerinin aritmetik ortalamasıdır.
3
Orta noktanın ordinatını (y0y_0) bulmak için bu noktanın doğru denklemini sağlaması gerektiği bilgisini kullanalım.
y0=x0−3=m+12−3=m−52y_0 = x_0 - 3 = \frac{m+1}{2} - 3 = \frac{m-5}{2} olur.
Orta nokta [AB][AB] kirişi üzerinde, dolayısıyla y=x−3y = x - 3 doğrusu üzerindedir.
4
Orta noktanın koordinatları toplamını 44'e eşitleyerek mm değerini bulalım.
x0+y0=m+12+m−52=m−2=4⇒m=6x_0 + y_0 = \frac{m+1}{2} + \frac{m-5}{2} = m - 2 = 4 \Rightarrow m = 6 elde edilir.
Soruda orta noktanın koordinatları toplamı 44 olarak verilmiştir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesim noktalarının oluşturduğu kirişin orta noktasının koordinatlarının analitik yöntemlerle bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Bu konudan daha fazla soru