Bir f fonksiyonu, a ve b gerçel sayıları için f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - x - 6}{|x -… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir

f

fonksiyonu,

a

b

gerçel sayıları için

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - x - 6}{|x - 3|} + a, & x < 3 \\ 2x + b, & x \ge 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

$f$ fonksiyonunun $x = 3$ noktasında limiti olduğuna göre, $a - b$ farkı kaçtır?

Limitin var olması için

x = 3

noktasındaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir. Sol limit hesaplanırken

x < 3

olduğundan mutlak değerin içi negatiftir ve ifade eksi ile çarpılarak çıkarılır; sadeleştirme sonucunda sol limit

-5 + a

bulunur. Sağ limit ise doğrudan

6 + b

olarak elde edilir. Bu iki limit değerinin eşitliğinden

a - b = 11

sonucuna ulaşılır.

x = 3

noktasındaki sol limiti hesaplamak için

x < 3

aralığındaki kural seçilir.

\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \left( \frac{x^2 - x - 6}{|x - 3|} + a \right)

Kritik noktalarda limit varlığını incelemek için sağdan ve soldan limitlere ayrı ayrı bakılmalıdır.

x \to 3^-

için

x < 3

olduğundan

|x - 3| = -(x - 3)

olarak çıkarılır ve pay ifadesi çarpanlarına ayrılarak sadeleştirilir.

\lim_{x \to 3^-} \left( \frac{(x - 3)(x + 2)}{-(x - 3)} + a \right) = \lim_{x \to 3^-} (-(x + 2) + a) = -(3 + 2) + a = -5 + a

0/0

belirsizliğini gidermek için mutlak değerin işareti belirlenir ve sadeleştirme yapılır.

x = 3

noktasındaki sağ limiti hesaplamak için

x \ge 3

aralığındaki kural seçilir ve

x = 3

de��eri yerine yazılır.

\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (2x + b) = 2(3) + b = 6 + b

Sağdan yaklaşırken ilgili fonksiyon parçası doğrudan değerlendirilir.

x = 3

noktasında limitin mevcut olması için sağ ve sol limit değerleri birbirine eşitlenir.

-5 + a = 6 + b \Rightarrow a - b = 6 - (-5) = 11

Bir noktada limitin var olabilmesi için o noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir.

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitinde sağ ve sol limitlerin kritik noktalarda eşit olması kuralı ve mutlak değerin işaret analizi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru