Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, sürekli ve çift bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(2−x)=f(x)f(2 - x) = f(x)
eşitliğini sağlamaktadır.
∫01f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3
olduğuna göre,
∫210(x−2)f(x) dx+∫08xf(x+2) dx\int_{2}^{10} (x - 2) f(x) \, dx + \int_{0}^{8} x f(x + 2) \, dx
toplamının değeri kaçtır?

Cevap: 192

Cevap

İstenen toplamın değeri 192'dir.
Verilen çiftlik ve simetri özellikleri fonksiyonun periyodunun 2 olduğunu gösterir. Bu periyodiklik ve integralde sınır öteleme/değişken değiştirme özellikleri kullanılarak, istenen ifade 2∫08xf(x) dx2 \int_{0}^{8} x f(x) \, dx biçimine indirgenir. Bu integral de periyot uzunluğu olan 2 birimlik aralıklara bölünerek ve her aralıkta değişken değiştirme yapılarak hesaplandığında toplam alan 96 bulunur ve 2 katı alınarak 192 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f fonksiyonunun periyodikliğini belirleme
f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x) eşitliği elde edilir, yani fonksiyonun periyodu 2'dir.
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) eşitliğinde xx yerine −x-x yazılırsa f(2+x)=f(−x)f(2+x) = f(-x) elde edilir. ff çift fonksiyon olduğundan f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) olup, f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x) bulunur.
2
∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx değerini hesaplama
∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 olarak bulunur.
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) simetrisinden dolayı [0,2][0, 2] aralığı x=1x=1 doğrusuna göre simetriktir. Bu yüzden ∫01f(x) dx=∫12f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 3 olur. Toplam integral değeri 3+3=63 + 3 = 6 bulunur.
3
Birinci integralde değişken değiştirme yapma
∫210(x−2)f(x) dx=∫08uf(u+2) du=∫08xf(x) dx\int_{2}^{10} (x - 2) f(x) \, dx = \int_{0}^{8} u f(u+2) \, du = \int_{0}^{8} x f(x) \, dx elde edilir.
u=x−2u = x - 2 dönüşümü yapılırsa dx=dudx = du olur. Alt sınır x=2x=2 için u=0u=0, üst sınır x=10x=10 için u=8u=8 olur. f(u+2)=f(u)f(u+2) = f(u) periyodikliği kullanılarak integral basitleştirilir.
4
İki integrali birleştirme
İstenen toplam 2∫08xf(x) dx2 \int_{0}^{8} x f(x) \, dx ifadesine eşit olur.
İkinci integral ∫08xf(x+2) dx\int_{0}^{8} x f(x+2) \, dx olup f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x) olduğundan ∫08xf(x) dx\int_{0}^{8} x f(x) \, dx şeklindedir. İki integral aynı olduğundan katsayıları toplanır.
5
∫08xf(x) dx\int_{0}^{8} x f(x) \, dx integralini periyotlara bölme
∫08xf(x) dx=∑k=03(6+12k)\int_{0}^{8} x f(x) \, dx = \sum_{k=0}^{3} (6 + 12k) elde edilir.
[0,8][0, 8] aralığı [2k,2k+2][2k, 2k+2] şeklinde 4 periyoda bölünür. Her bir aralıkta x=t+2kx = t + 2k dönüşümü yapılırsa ∫2k2k+2xf(x) dx=∫02tf(t) dt+2k∫02f(t) dt\int_{2k}^{2k+2} x f(x) \, dx = \int_{0}^{2} t f(t) \, dt + 2k \int_{0}^{2} f(t) \, dt elde edilir. ∫02tf(t) dt\int_{0}^{2} t f(t) \, dt integralinde t=2−wt = 2 - w dönüşümü ile bu integralin ∫02f(t) dt=6\int_{0}^{2} f(t) \, dt = 6 değerine eşit olduğu görülür. Buradan her bir periyottaki integral 6+12k6 + 12k olur.
6
Toplamı hesaplama ve nihai sonucu bulma
Toplam integral değeri 96, nihai yanıt ise 192 olarak bulunur.
k=0,1,2,3k=0, 1, 2, 3 değerleri için toplam 6+18+30+42=966 + 18 + 30 + 42 = 96 olur. İstenen değer bu integralin 2 katı olduğundan 2×96=1922 \times 96 = 192 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralin periyodiklik, simetri ve değişken değiştirme özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru