Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(x)+f(2−x)=4f(x) + f(2-x) = 4
eşitliğini sağlamaktadır.
g(x)=∫0xf(t) dtg(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt
olmak üzere,
g(4)−g(2)=10g(4) - g(2) = 10
olduğunu göre, g(−2)g(-2) değeri kaçtır?
  1. A
    66
  2. B
    44
  3. 22Cevap
  4. D
    −2-2
  5. E
    −6-6

Cevap

Belirli integral özellikleri ve değişken değiştirme yöntemi kullanılarak doğru değer 2 olarak bulunur.
Doğru değer olan 2, belirli integralin sınır değiştirme ve değişken değiştirme kurallarının [2,4][2, 4] aralığına uygulanıp, u=2−tu = 2-t dönüşümü yapıldıktan sonra elde edilen ∫−20f(t) dt=−2\int_{-2}^{0} f(t) \, dt = -2 eşitliği ve g(−2)=−∫−20f(t) dtg(-2) = -\int_{-2}^{0} f(t) \, dt tanımı birleştirilerek bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(2)g(2) integral değerini hesaplamak için verilen fonksiyonel denklem [0,2][0, 2] aralığında entegre edilir.
g(2)=4g(2) = 4
f(x)+f(2−x)=4  ⟹  ∫02(f(x)+f(2−x)) dx=∫024 dx=8f(x) + f(2-x) = 4 \implies \int_{0}^{2} (f(x) + f(2-x)) \, dx = \int_{0}^{2} 4 \, dx = 8 elde edilir. Sol taraftaki ikinci integralde u=2−xu = 2-x değişken değiştirmesi yapılırsa ∫02f(2−x) dx=∫02f(u) du\int_{0}^{2} f(2-x) \, dx = \int_{0}^{2} f(u) \, du olur. Böylece 2∫02f(x) dx=8  ⟹  g(2)=42 \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 8 \implies g(2) = 4 bulunur.
2
Verilen g(4)−g(2)=10g(4) - g(2) = 10 bilgisi kullanılarak [2,4][2, 4] aralığındaki belirli integral değeri tespit edilir.
∫24f(t) dt=10\int_{2}^{4} f(t) \, dt = 10
g(4)−g(2)=∫04f(t) dt−∫02f(t) dt=∫24f(t) dtg(4) - g(2) = \int_{0}^{4} f(t) \, dt - \int_{0}^{2} f(t) \, dt = \int_{2}^{4} f(t) \, dt olduğundan bu değer doğrudan 1010 olarak bulunur.
3
∫24f(t) dt\int_{2}^{4} f(t) \, dt integralinde u=2−tu = 2-t değişken değiştirmesi yapılarak sınırların [−2,0][-2, 0] aralığına taşınması sağlanır.
∫−20f(t) dt=−2\int_{-2}^{0} f(t) \, dt = -2
u=2−t  ⟹  dt=−duu = 2-t \implies dt = -du olur. Sınırlar için: t=2  ⟹  u=0t = 2 \implies u = 0 ve t=4  ⟹  u=−2t = 4 \implies u = -2 olur. Buradan,
∫24f(t) dt=∫0−2f(2−u)(−du)=∫−20f(2−u) du\int_{2}^{4} f(t) \, dt = \int_{0}^{-2} f(2-u) (-du) = \int_{-2}^{0} f(2-u) \, du
elde edilir. f(2−u)=4−f(u)f(2-u) = 4 - f(u) eşitliği yerine yazıldığında:
∫−20(4−f(u)) du=10  ⟹  [4u]−20−∫−20f(u) du=10  ⟹  8−∫−20f(u) du=10  ⟹  ∫−20f(t) dt=−2\int_{-2}^{0} (4 - f(u)) \, du = 10 \implies \left[ 4u \right]_{-2}^{0} - \int_{-2}^{0} f(u) \, du = 10 \implies 8 - \int_{-2}^{0} f(u) \, du = 10 \implies \int_{-2}^{0} f(t) \, dt = -2 bulunur.
4
g(−2)g(-2) değeri, integral sınırlarının yönü dikkate alınarak hesaplanır.
g(−2)=2g(-2) = 2
g(−2)=∫0−2f(t) dt=−∫−20f(t) dtg(-2) = \int_{0}^{-2} f(t) \, dt = -\int_{-2}^{0} f(t) \, dt olduğundan, bir önceki adımda bulunan −2-2 değeri yerine yazıldığında g(−2)=−(−2)=2g(-2) = -(-2) = 2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi, integral sınırlarının güncellenmesi ve fonksiyon simetrilerinin belirli integral üzerindeki etkileri.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru