Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
∫35(f(x)−2x) dx=−8\int_{3}^{5} (f(x) - 2x) \, dx = -8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫13f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

İstenen belirli integralin değeri 4 olarak bulunur.
İkinci denklem belirli integralin lineerlik özelliği ile parçalandığında elde edilen ∫352x dx\int_{3}^{5} 2x \, dx integralinin değeri 1616 olur. Buradan ∫35f(x) dx=8\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 8 olarak bulunur. İlk denklemde verilen [1,5][1, 5] aralığı belirli integralin aralık bölme özelliğiyle [1,3][1, 3] ve [3,5][3, 5] olarak ikiye ayrıldığında, ∫15f(x) dx=∫13f(x) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx bağıntısı elde edilir. Sayısal değerler yerine konduğunda 12=∫13f(x) dx+812 = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 8 eşitliğinden aranan integralin değeri 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci integral ifadesini belirli integralin lineerlik özelliğini kullanarak parçalamak
∫35f(x) dx−∫352x dx=−8\int_{3}^{5} f(x) \, dx - \int_{3}^{5} 2x \, dx = -8
İntegrali sadeleştirip ∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx terimini yalnız bırakabilmek için belirli integralin çıkarma özelliğini uyguladık.
2
∫352x dx\int_{3}^{5} 2x \, dx integralini hesaplamak
∫352x dx=[x2]35=25−9=16\int_{3}^{5} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{3}^{5} = 25 - 9 = 16
2x2x fonksiyonunun integralinin x2x^2 olduğunu bilerek sınır değerlerini yerine koyduk.
3
∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx değerini bulmak
∫35f(x) dx=8\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 8
∫35f(x) dx−16=−8\int_{3}^{5} f(x) \, dx - 16 = -8 eşitliğinden bilinmeyen integral değerini çektik.
4
Belirli integralin sınırları parçalama özelliğini uygulamak
∫15f(x) dx=∫13f(x) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx
[1,5][1, 5] aralığını 33 noktasına göre iki alt aralığa bölerek integral değerleri arasındaki ilişkiyi kurduk.
5
Verilen ve bulunan değerleri denklemde yerine koyup sonuca ulaşmak
12=∫13f(x) dx+8  ⟹  ∫13f(x) dx=412 = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 8 \implies \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4
Bilinen değerleri yerine yazarak bizden istenen aralıktaki integral değerini hesapladık.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralin Lineerlik ve Aralık Bölme Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru