Examkin

Soru

Zorluk: KolayDeğişken Değiştirme Yöntemi
∫01(3x+1)4 dx\int_{0}^{1} (3x + 1)^4 \, dx

belirli integralinde u=3x+1u = 3x + 1 değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

  1. 13∫14u4 du\frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^4 \, duCevap
  2. B
    13∫01u4 du\frac{1}{3} \int_{0}^{1} u^4 \, du
  3. C
    ∫14u4 du\int_{1}^{4} u^4 \, du
  4. D
    ∫01u4 du\int_{0}^{1} u^4 \, du
  5. E
    13∫−12u4 du\frac{1}{3} \int_{-1}^{2} u^4 \, du

Cevap

13∫14u4 du\frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^4 \, du
Doğru seçenekte integral sınırları alt sınır için 3(0)+1=13(0)+1=1 ve üst sınır için 3(1)+1=43(1)+1=4 olarak güncellenmiş ve diferansiyel ifadesi dx=du3dx = \frac{du}{3} şeklinde doğru yazılarak integralin dışına 13\frac{1}{3} çarpanı getirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Diferansiyel hesabı yapılır.
u=3x+1  ⟹  du=3 dx  ⟹  dx=du3u = 3x + 1 \implies du = 3 \, dx \implies dx = \frac{du}{3} elde edilir.
İntegral içerisindeki dxdx ifadesini yeni değişken uu cinsinden ifade etmek için her iki tarafın diferansiyeli alınır.
2
İntegral sınırları güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=3(0)+1=1x = 0 \implies u = 3(0) + 1 = 1 ve üst sınır için x=1  ⟹  u=3(1)+1=4x = 1 \implies u = 3(1) + 1 = 4 bulunur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre hesaplanması gerekir.
3
Elde edilen ifadeler integralde yerine yazılır.
∫01(3x+1)4 dx=∫14u4⋅du3=13∫14u4 du\int_{0}^{1} (3x + 1)^4 \, dx = \int_{1}^{4} u^4 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^4 \, du elde edilir.
Tüm terimler yeni uu değişkenine göre düzenlenerek integral yeniden yazılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem diferansiyel ifadesi (dxdx) yeni değişken cinsinden yazılmalı hem de integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru