Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
(∣x−2∣−3)(x2−4x−5)(3−x)3(x2+x+1)≥0 \frac{(|x - 2| - 3)(x^2 - 4x - 5)}{(3 - x)^3(x^2 + x + 1)} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?
  1. A
    3
  2. B
    6
  3. 8Cevap
  4. D
    9
  5. E
    11

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 8'dir.
Eşitsizliğin pay kısmındaki çarpanların kökleri x=−1x = -1 ve x=5x = 5 olup, her iki kök de çift katlı köktür. Paydadaki kök ise x=3x = 3 (tek katlı) olup ifadeyi tanımsız yapar. Pay kısmı daima negatif olmayan değerler aldığından, ifadenin genel işaretini payda belirler. Dolayısıyla eşitsizlik x<3x < 3 için sağlanır. Ayrıca payı sıfır yapan x=−1x = -1 ve x=5x = 5 değerleri de çözüme dahildir. Böylece çözüm kümesi (−∞,3)∪{5}(-\infty, 3) \cup \{5\} olur. Bu kümedeki pozitif tam sayılar 1,21, 2 ve 55'tir. Bunların toplamı ise 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ifadelerin köklerini bulalım.
Pay kısmındaki ∣x−2∣−3=0|x - 2| - 3 = 0 denkleminin kökleri x=5x = 5 ve x=−1x = -1 olarak bulunur. Diğer çarpan olan x2−4x−5=0x^2 - 4x - 5 = 0 denkleminin kökleri de (x−5)(x+1)=0(x - 5)(x + 1) = 0 bağıntısından x=5x = 5 ve x=−1x = -1 olur. Paydadaki (3−x)3=0(3 - x)^3 = 0 denkleminin kökü x=3x = 3 (tek katlı kök) olur. x2+x+1=0x^2 + x + 1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=−3<0\Delta = -3 < 0 olduğundan reel kökü yoktur.
Eşitsizlik tablosunu oluşturmak için tüm çarpanların reel köklerini tespit etmemiz gerekir.
2
Köklerin katlılık durumunu inceleyelim.
x=5x = 5 ve x=−1x = -1 kökleri hem mutlak değerli ifadeden hem de ikinci dereceden üçterimliden geldiği için ikişer kez bulunurlar. Bu nedenle her iki kök de çift katlı köktür. x2+x+1x^2 + x + 1 ifadesi ise Δ<0\Delta < 0 ve başkatsayısı pozitif olduğundan daima pozitiftir.
Çift katlı köklerde eşitsizlik tablosunda işaret değişimi yapılmayacaktır.
3
Eşitsizlik tablosunu kuralım ve çözüm kümesini yazalım.
Tabloda kökler sırasıyla −1-1 (çift katlı), 33 (tek katlı, paydayı tanımsız yapar) ve 55 (çift katlı) olarak yerleştirilir. En sağdan (5'ten büyük değerler için) eksi (−-) işareti ile başlanır. 5 çift katlı kök olduğundan solunda yine (−-) olur. 3 tek katlı kök olduğundan solunda artı (++) olur. −1-1 çift katlı kök olduğundan solunda yine (++) olur. Eşitsizliğin ≥0\geq 0 olduğu bölge x<3x < 3 aralığıdır. Ayrıca payı sıfır yapan x=5x = 5 ve x=−1x = -1 değerleri de çözüm kümesindedir. Böylece çözüm kümesi (−∞,3)∪{5}(-\infty, 3) \cup \{5\} olur.
Eşitsizlik yönüne (≥0\geq 0) ve paydanın sıfır olamayacağına dikkat ederek çözüm kümesini belirlemek için işaret incelemesi yapılır.
4
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları belirleyip toplayalım.
Çözüm kümesi (−∞,3)∪{5}(-\infty, 3) \cup \{5\} olduğuna göre, bu kümedeki pozitif tam sayılar 1,21, 2 ve 55 olur (3 sayısı paydayı sıfır yaptığı için çözüm kümesine dahil edilemez). Bu sayıların toplamı 1+2+5=81 + 2 + 5 = 8 olarak elde edilir.
Soru bizden eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru