Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+f(6−x)=6x−x2f(x) + f(6-x) = 6x - x^2
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
∫15f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    923\frac{92}{3}
  2. 463\frac{46}{3}Cevap
  3. C
    233\frac{23}{3}
  4. D
    473\frac{47}{3}
  5. E
    383\frac{38}{3}

Cevap

İntegralin doğru değeri olan 463\frac{46}{3} ifadesidir.
Değişken değiştirme yapılarak integral sınırları uyuşturulur ve ∫15f(x) dx=∫15f(6−x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} f(6-x) \, dx eşitliği elde edilir. Bu iki integral toplandığında integralin içi f(x)+f(6−x)=6x−x2f(x) + f(6-x) = 6x - x^2 olur. Belirli integralin değeri hesaplanıp ikiye bölündüğünde 463\frac{46}{3} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralde u=6−xu = 6 - x değişken değiştirmesi yapılır.
dx=−dudx = -du olur. Sınırlar ise x=1⇒u=5x = 1 \Rightarrow u = 5 ve x=5⇒u=1x = 5 \Rightarrow u = 1 olarak güncellenir.
f(6−x)f(6-x) terimini elde etmek ve integral sınırlarının değişimini görmek için.
2
Yeni değişkenlerle integral yeniden yazılır ve sınırlar��n yönü düzenlenir.
∫15f(x) dx=∫51f(6−u) (−du)=∫15f(6−x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{5}^{1} f(6-u) \, (-du) = \int_{1}^{5} f(6-x) \, dx elde edilir.
Belirli integralin sınırlarının yer değiştirmesi durumunda işaret değiştirmesi özelliğini kullanmak için.
3
Elde edilen iki integral toplanır ve verilen fonksiyonel denklem yerine yaz��lır.
2∫15f(x) dx=∫15[f(x)+f(6−x)] dx=∫15(6x−x2) dx2 \int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} [f(x) + f(6-x)] \, dx = \int_{1}^{5} (6x - x^2) \, dx olur.
f(x)+f(6−x)f(x) + f(6-x) ifadesinin cebirsel değerini integrale dahil edebilmek için.
4
Polinom integral hesabı yapılarak sınırlar yerine konur.
∫15(6x−x2) dx=[3x2−x33]15=1003−83=923\int_{1}^{5} (6x - x^2) \, dx = \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{5} = \frac{100}{3} - \frac{8}{3} = \frac{92}{3} bulunur.
Belirli integralin sayısal değerini hesaplamak için.
5
Nihai integral değeri için her iki taraf ikiye bölünür.
∫15f(x) dx=463\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \frac{46}{3} elde edilir.
Toplam integralin iki katından tekil integral değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yardımıyla sınırlar güncellenerek fonksiyonel simetri özelliklerinin kullanılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru