Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{0}^{2} (x - 1) f(x) \, dx = 8 \int_{1}^{5} (x - 1) f(x) \, dx = 12\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \int_{0}^{2} x^3 f(x^2 + 1) \, dx integralinin değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{0}^{2} (x - … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{0}^{2} (x - 1) f(x) \, dx = 8

\int_{1}^{5} (x - 1) f(x) \, dx = 12

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{0}^{2} x^3 f(x^2 + 1) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

İntegralin doğru değeri 6'dır.

Değişken değiştirme yapılıp sınırlar güncellendiğinde integral

\frac{1}{2} \int_{1}^{5} (u-1)f(u) \, du

şekline gelir. Verilen

\int_{1}^{5} (x-1)f(x) \, dx = 12

değeri kullanılarak doğru yanıt 6 olarak hesaplanır.

İntegralde de��işken değiştirme yöntemi uygulanır.

u = x^2 + 1

dönüşümü yapılır.

Diferansiyel alındığında

du = 2x \, dx

elde edilir. Buradan

x \, dx = \frac{du}{2}

x^2 = u - 1

bulunur.

İntegrali

u

değişkenine bağlı olarak ifade etmek için.

Belirli integralin sınırları yeni değişken

u

'ya göre güncellenir.

Alt sınır

x = 0

için

u = 0^2 + 1 = 1

, üst sınır

x = 2

için

u = 2^2 + 1 = 5

olur.

Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da güncellenmesi gerektiği için.

Dönüşümler ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak ifade düzenlenir.

\int_{0}^{2} x^3 f(x^2 + 1) \, dx = \int_{1}^{5} (u - 1) f(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} (u - 1) f(u) \, du

elde edilir.

Verilen integral ifadesini bilinen integral biçimine dönüştürmek için.

Soruda verilen

\int_{1}^{5} (x - 1) f(x) \, dx = 12

eşitliği kullanılarak integral hesaplanır.

\frac{1}{2} \cdot 12 = 6

bulunur.

Doğru sınırlar altındaki integral değeri yerine yazılarak sonuca ulaşmak için.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların ve diferansiyel ifadesinin doğru güncellenmesi

Tahmini Süre:2m 0s