Examkin

Soru

Zorluk: ZorDeğişken Değiştirme Yöntemi
∫13x3−x(x2+1)3 dx\int_{1}^{3} \frac{x^3 - x}{(x^2 + 1)^3} \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    −29-\frac{2}{9}
  2. B
    −19-\frac{1}{9}
  3. 225\frac{2}{25}Cevap
  4. D
    425\frac{4}{25}
  5. E
    825\frac{8}{25}

Cevap

225\frac{2}{25}
İntegral ifadesinde pay kısmındaki x3−xx^3 - x ifadesi x(x2−1)x(x^2 - 1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydadaki x2+1x^2 + 1 ifadesine uu denilirse, diferansiyel x dx=12 dux \, dx = \frac{1}{2} \, du olarak elde edilir. Bu durumda paydaki x2−1x^2 - 1 terimi u−2u - 2 haline gelir. İntegralin sınırları da x=1x=1 için u=2u=2 ve x=3x=3 için u=10u=10 olarak güncellenir. Bu dönüşümler altında integral 12∫210(u−2−2u−3) du\frac{1}{2} \int_{2}^{10} (u^{-2} - 2u^{-3}) \, du biçimine dönüşür. İntegral hesaplandığında doğru sonuç 225\frac{2}{25} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali daha kolay hesaplayabilmek amacıyla u=x2+1u = x^2 + 1 değişken değiştirmesini yapalım.
Diferansiyel alındığında du=2x dx⇒x dx=12 dudu = 2x \, dx \Rightarrow x \, dx = \frac{1}{2} \, du elde edilir.
Paydadaki ifadeyi tek bir değişkenin kuvvetine dönüştürmek ve pay kısmındaki x3−x=x(x2−1)x^3 - x = x(x^2 - 1) ifadesindeki xx çarpanı ile diferansiyel ilişkisi kurmak amacıyla bu dönüşüm seçilmiştir.
2
x2−1x^2 - 1 ifadesini uu türünden yazalım.
u=x2+1⇒x2=u−1u = x^2 + 1 \Rightarrow x^2 = u - 1 olduğundan, x2−1=(u−1)−1=u−2x^2 - 1 = (u - 1) - 1 = u - 2 olur.
İntegral içindeki tüm xx terimlerinin yeni değişken olan uu türünden ifade edilmesi zorunludur.
3
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken olan uu değerlerine göre güncelleyelim.
Alt sınır için x=1⇒u=12+1=2x = 1 \Rightarrow u = 1^2 + 1 = 2 olur. Üst sınır için x=3⇒u=32+1=10x = 3 \Rightarrow u = 3^2 + 1 = 10 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integralin sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir, aksi takdirde yanlış sonuç elde edilir.
4
Dönüşümleri ve yeni sınırları integralde yerine yazarak hesaplamayı tamamlayalım.
∫210u−2u3⋅12 du=12∫210(u−2−2u−3) du=12[−u−1+u−2]210=12[−1u+1u2]210\int_{2}^{10} \frac{u - 2}{u^3} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{2}^{10} \left( u^{-2} - 2u^{-3} \right) \, du = \frac{1}{2} \left[ -u^{-1} + u^{-2} \right]_2^{10} = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{u} + \frac{1}{u^2} \right]_2^{10}

Sınırları yerine yazarsak:
12[(−110+1100)−(−12+14)]=12[−9100−(−14)]=12[−9100+25100]=12⋅16100=225\frac{1}{2} \left[ \left( -\frac{1}{10} + \frac{1}{100} \right) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{9}{100} - \left( -\frac{1}{4} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{9}{100} + \frac{25}{100} \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{100} = \frac{2}{25} elde edilir.
Elde edilen basit rasyonel fonksiyonların integralleri alınır ve sınırlar yerine konur.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru