Sürekli bir f fonksiyonu için \int_1^2 x f(x) \, dx = 5 \int_2^6 x f(x) \, dx = 16\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \int_1^2 (2x^3 + 3x^2 + x) f(x^2 + x) \, dx integralinin değeri kaçtır?

Sürekli bir f fonksiyonu için \int_1^2 x f(x) \, dx = 5 \int_2^6 x f(x) \, dx = 16\neşitli… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_1^2 x f(x) \, dx = 5

\int_2^6 x f(x) \, dx = 16

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,

\int_1^2 (2x^3 + 3x^2 + x) f(x^2 + x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

İntegralin değeri 16'dır.

İntegral içindeki

2x^3 + 3x^2 + x

ifadesi

(x^2+x)(2x+1)

şeklinde çarpanlarına ayrılır.

u = x^2+x

dönüşümü yapıldığında diferansiyel

du = (2x+1)dx

olur. İntegral sınırları

x=1

için

u=2

x=2

için

u=6

olarak güncellenir. Bu dönüşümler uygulandığında integral

\int_2^6 u f(u) \, du

haline gelir. Soruda verilen

\int_2^6 x f(x) \, dx = 16

bilgisi kullanılarak doğru sonuç 16 olarak elde edilir.

İntegrali alınacak ifadedeki

(2x^3 + 3x^2 + x)

terimini ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.

2x^3 + 3x^2 + x = x(2x^2 + 3x + 1) = x(x+1)(2x+1) = (x^2+x)(2x+1)

elde edilir.

Bu sayede integral içindeki ifade

u = x^2 + x

değişken değiştirmesine uygun hale getirilir.

u = x^2 + x

dönüşümü uygulayarak diferansiyeli bulun.

du = (2x+1)dx

olur.

Değişken değiştirme yönteminde diferansiyellerin doğru eşleştirilmesi gerekir.

Belirli integralin sınırlarını yeni değişken

u

'ya göre güncelleyin.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2

ve üst sınır için

x = 2 \implies u = 2^2 + 2 = 6

bulunur.

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

Dönüşümü integralde yerine yazın ve verilen eşitlikleri kullanarak sonucu hesaplayın.

\int_1^2 (x^2+x) f(x^2+x) \cdot (2x+1) \, dx = \int_2^6 u f(u) \, du = 16

bulunur.

İntegral değişkeni yapay bir değişken olduğundan

\int_2^6 u f(u) \, du

değeri ile

\int_2^6 x f(x) \, dx

değeri aynıdır ve 16'ya eşittir.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem integrandın hem de sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Tahmini Süre:2m 30s