Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

İki veya daha fazla fonksiyonun çarpımı veya bölümü şeklinde verilen eşitsizlikler çözülürken her bir çarpanın kökleri bulunur ve işaret tablosu oluşturulur.

Buna göre,
(9−x2)⋅(x−2)3(x2−2x−3)⋅∣x−4∣≥0 \frac{(9 - x^2) \cdot (x - 2)^3}{(x^2 - 2x - 3) \cdot |x - 4|} \ge 0
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının [−5,5][-5, 5] kapalı aralığındaki toplamı kaçtır?

Cevap: -9

Cevap

Verilen eşitsizliği [−5,5][-5, 5] kapalı aralığında sağlayan tam sayıların toplamı -9'dur.
Verilen eşitsizlik rasyonel bir ifadedir. Pay ve payda çarpanlara ayrılarak kökler bulunur. Paydadaki ∣x−4∣|x-4| ifadesi x=4x = 4 noktasında çift katlı kök oluştururken paydayı sıfır yaptığı için tanımsızlığa sebep olur. x=3x = 3 değeri ise hem pay hem de paydada yer alıp sadeleşse de paydayı sıfır yaptığı için tanım kümesinden hariç tutulmalıdır. İşaret tablosu çıkarıldığında ifadenin pozitif veya sıfır olduğu aralıklar (−∞,−3]∪(−1,2](-\infty, -3] \cup (-1, 2] olarak bulunur. Bu aralıktaki [−5,5][-5, 5] kapsamındaki tam sayılar −5,−4,−3,0,1,2-5, -4, -3, 0, 1, 2 olup toplamları −9-9 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki çarpanların köklerini belirleme.
Payın kökleri: x=−3,3,2x = -3, 3, 2; Paydanın kökleri: x=−1,3x = -1, 3 ve çift katlı kök x=4x = 4.
İşaret incelemesi için kritik noktaların ve tan��msızlık yapan değerlerin bulunması gerekir.
2
Payda sıfırlayan kökleri tanım kümesinden hariç tutma.
x≠−1x \neq -1, x≠3x \neq 3 ve x≠4x \neq 4 şartları elde edilir.
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler tanımsızlığa yol açar.
3
Ortak çarpanları sadeleştirme ve işaret tablosu yönünü belirleme.
(x+3)(x−2)3(x+1)∣x−4∣≤0\frac{(x+3)(x-2)^3}{(x+1)|x-4|} \le 0 eşitsizliğine ulaşılır.
9−x29-x^2 ifadesi −(x−3)(x+3)-(x-3)(x+3) şeklinde yazılarak paydadaki (x−3)(x-3) ile sadeleştirilir ve negatif katsayı eşitsizliğin yönünü değiştirir.
4
İşaret tablosu yardımıyla eşitsizliğin sağlandığı aralığı bulma.
x∈(−∞,−3]∪(−1,2]x \in (-\infty, -3] \cup (-1, 2] aralığı elde edilir.
Sadeleşen ifadenin kökleri üzerinden yapılan işaret incelemesinde negatif bölgeler belirlenir.
5
Elde edilen çözüm kümesindeki tam sayıları [−5,5][-5, 5] aralığına göre sınırlayarak toplama.
(−5)+(−4)+(−3)+0+1+2=−9(-5) + (-4) + (-3) + 0 + 1 + 2 = -9
Koşulları sağlayan tam sayılar belirlenerek toplam işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin İşaret Tablosu ile Çözümü
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru