Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDeğişken Değiştirme Yöntemi
∫124(x−1)3 dx\int_{1}^{2} 4(x-1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

  1. A
    15
  2. B
    4
  3. 1Cevap
  4. D
    65
  5. E
    16

Cevap

1
Değişken değiştirme yöntemi uygulandığında u=x−1u = x-1 dönüşümüyle sınırlar 00 ve 11 olarak güncellenir. İntegral ∫014u3 du=[u4]01=1\int_{0}^{1} 4u^3 \, du = [u^4]_0^1 = 1 olarak hesaplanır. Dolayısıyla doğru cevap 1 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme tanımlaması yapılır.
u=x−1u = x-1 dönüşümü seçilir. Bu durumda her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=dxdu = dx elde edilir.
İntegrali daha kolay çözülebilir bir biçime getirmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
Belirli integralin sınırları u değişkenine göre güncellenir.
Alt sınır için: x=1  ⟹  u=1−1=0x = 1 \implies u = 1 - 1 = 0
Üst sınır için: x=2  ⟹  u=2−1=1x = 2 \implies u = 2 - 1 = 1 olur.
Değişken değiştirildiğinde belirli integralin sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
Dönüşümler integralde yerine yazılarak yeni integral hesaplanır.
∫014u3 du=[u4]01=14−04=1\int_{0}^{1} 4u^3 \, du = \left[ u^4 \right]_0^1 = 1^4 - 0^4 = 1 elde edilir.
Elde edilen u cinsinden kolay integralin değeri hesaplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru