Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡x−1(x2−4)+log⁡12−x(x2−8x+12x−4)f(x) = \log_{x-1}(x^2 - 4) + \log_{12-x}\left(\frac{x^2 - 8x + 12}{x - 4}\right) fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevap: 37

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 37'dir.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayılar, her iki logaritmik terimin de eş zamanlı olarak tanımlı olmasını sağlayan değerlerdir. Birinci logaritma teriminden gelen x>2x > 2 sınırlandırması ile ikinci logaritma teriminden gelen x<12x < 12, x≠11x \neq 11 ve x∈(2,4)∪(6,∞)x \in (2, 4) \cup (6, \infty) koşulları kesiştirildiğinde elde edilen (2,4)∪(6,11)∪(11,12)(2, 4) \cup (6, 11) \cup (11, 12) kümesindeki tam sayıların (3,7,8,9,103, 7, 8, 9, 10) toplamı doğru sonucu vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk logaritma teriminin tanım kümesini belirleme
x>2x > 2
Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı, argümanı ise pozitif olmalıdır. Buradan x−1>0  ⟹  x>1x-1>0 \implies x>1, x−1≠1  ⟹  x≠2x-1 \neq 1 \implies x \neq 2 ve x2−4>0  ⟹  x∈(−∞,−2)∪(2,∞)x^2-4>0 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) elde edilir. Bu üç koşulun kesişimi x>2x > 2 aralığıdır.
2
İkinci logaritma teriminin taban koşullarını belirleme
x<12x < 12 ve x≠11x \neq 11
Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Buradan 12−x>0  ⟹  x<1212-x > 0 \implies x < 12 ve 12−x≠1  ⟹  x≠1112-x \neq 1 \implies x \neq 11 elde edilir.
3
İkinci logaritma teriminin argüman koşulunu belirleme
x∈(2,4)∪(6,∞)x \in (2, 4) \cup (6, \infty)
Argümanın pozitif olması gerekir. x2−8x+12x−4>0  ⟹  (x−2)(x−6)x−4>0\frac{x^2-8x+12}{x-4} > 0 \implies \frac{(x-2)(x-6)}{x-4} > 0 eşitsizliğinin kökleri 2,4,62, 4, 6'dır. İşer işaret tablosunda en sağdan ++ ile başlanarak sırasıyla −,+,−-, +, - şeklinde işaretler yerleştirilir. Buradan pozitif bölgeler (2,4)∪(6,∞)(2, 4) \cup (6, \infty) olarak belirlenir.
4
Tüm koşulların kesişimini alarak en geniş tanım kümesini oluşturma
x∈(2,4)∪(6,11)∪(11,12)x \in (2, 4) \cup (6, 11) \cup (11, 12)
x>2x > 2 ile x∈(2,4)∪(6,∞)x \in (2, 4) \cup (6, \infty) aralıklarının kesişimi (2,4)∪(6,∞)(2, 4) \cup (6, \infty) olur. Bu kümenin x<12x < 12 ve x≠11x \neq 11 koşullarıyla kesişimi ise (2,4)∪(6,11)∪(11,12)(2, 4) \cup (6, 11) \cup (11, 12) kümesini verir.
5
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini bulup toplama
37
(2,4)(2, 4) aralığındaki tek tam sayı 33'tür. (6,11)(6, 11) aralığındaki tam sayılar 7,8,9,107, 8, 9, 10'dur. (11,12)(11, 12) aralığında tam sayı yoktur. Tam sayıların toplamı: 3+7+8+9+10=373 + 7 + 8 + 9 + 10 = 37 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının (logaritması alınan ifadenin) ise sıfırdan büyük olması gerekir. Birden fazla logaritmik ifadenin toplamından oluşan fonksiyonlarda en geniş tanım kümesi, her bir ifadenin tanım kümelerinin kesişimidir.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi