Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \frac{(x + 3) \cdot (x - 2)^2}{(x^2 - 9) \cdot (x - 1)} \geq 0 \neşitsizliğini sağlayan en küçük üç farklı pozitif tam sayının toplamı kaçtır?

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \frac{(x + 3) \cdot (x - 2)^2}{(x^2 - 9) \cdot (x - 1)} \… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

\frac{(x + 3) \cdot (x - 2)^2}{(x^2 - 9) \cdot (x - 1)} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan en küçük üç farklı pozitif tam sayının toplamı kaçtır?

A
6
B
7
C
9
11Cevap
E
15

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük üç farklı pozitif tam sayının toplamı 11'dir.

Eşitsizliğin çözüm kümesi incelendiğinde,

x = 1

x = 3

noktalarının paydayı sıfır yaptığı için hariç tutulduğu görülür. Çift katlı kök olan

x = 2

noktası ise ifadeyi sıfıra eşitlediği için çözüm kümesine dahildir. Bu doğrultuda çözüm kümesindeki en küçük pozitif tam sayılar sırasıyla

2

4

5

değerleridir. Bu sayıların toplamı ise

11

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

Eşitsizlikteki ifadelerin köklerini bulalım ve paydayı sıfır yapan değerleri belirleyelim.

Payın kökleri:

x = -3

x = 2

(çift katlı kök).
Paydanın kökleri:

x = -3

x = 3

x = 1

Eşitsizlik tablosu yapabilmek için sınır değerleri ve tanımsızlık noktalarını belirlememiz gerekir.

Köklerin katlarını ve sistemdeki durumlarını analiz edelim.

x = -3

kökü hem pay hem de paydada birer kez bulunduğu için çift katlı kök gibi davranır fakat paydayı sıfır yaptığı için tanımsızlık noktasıdır.

x = 2

kökü pay kısmında

(x-2)^2

ifadesinden geldiği için çift katlı köktür.

x = 1

x = 3

kökleri tek katlı payda kökleridir.

Çift katlı köklerde işaretin değişmeyeceğini ve payda köklerinin çöz��m kümesine dahil edilemeyeceğini belirlemek için bu analiz gereklidir.

İşaret tablosunu oluşturup bölgelerin işaretlerini inceleyelim.

En yüksek dereceli terimlerin işaretleri çarpımı pozitif olduğu için tabloya en sağdan (+) ile başlanır:
-

(3, \infty)

aralığında +
-

(2, 3)

aralığında -
-

(1, 2)

aralığında -
-

(-3, 1)

aralığında +
-

(-\infty, -3)

aralığında +

Eşitsizliğin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıkları bulmak amacıyla işaret tablosu oluşturulur.

Eşitsizliği sağlayan çözüm kümesini yazalım.

Çözüm Kümesi:

(-\infty, -3) \cup (-3, 1) \cup \{2\} \cup (3, \infty)

Eşitsizlikte

\geq 0

koşulu arandığından pozitif aralıklar ve payı sıfır yapan dahil edilebilir kökler birleştirilir.

Çözüm kümesindeki en küçük üç farklı pozitif tam sayıyı bulup toplayalım.

Pozitif tam sayılar

1, 2, 3, 4, 5, \dots

şeklindedir.
-

1

3

değerleri paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesinde yer almaz.
-

2

değeri çözüm kümesindedir.
-

4

5

değerleri

(3, \infty)

aralığından dolayı çözüm kümesindedir.
En küçük üç farklı pozitif tam sayı

2, 4

5

olup toplamları

2 + 4 + 5 = 11

olur.

Soru kökünde istenen toplam değerine ulaşmak için en küçük pozitif tam sayı çözümleri toplanır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru