Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDeğişken Değiştirme Yöntemi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫0π4tan⁡(x)⋅sec⁡2(x)⋅f′(tan⁡2(x)) dx\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \cdot \sec^2(x) \cdot f'(\tan^2(x)) \, dx
integrali veriliyor. Bu integralde u=tan⁡2(x)u = \tan^2(x) değişken değiştirmesi yapıldığında aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
  1. 12∫01f′(u) du\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f'(u) \, duCevap
  2. B
    12∫0π4f′(u) du\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f'(u) \, du
  3. C
    ∫01f′(u) du\int_{0}^{1} f'(u) \, du
  4. D
    ∫0π4f′(u) du\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f'(u) \, du
  5. E
    \int_{0}^{1} u \cdot f'(u) \, du

Cevap

Önünde bir bölü iki katsayısı bulunan, sıfırdan bire f türev u du integralidir.
Verilen integralde u=tan⁡2(x)u = \tan^2(x) dönüşümü uygulandığında, diferansiyel du=2tan⁡(x)sec⁡2(x) dxdu = 2\tan(x)\sec^2(x)\,dx olur ve buradan tan⁡(x)sec⁡2(x) dx=12 du\tan(x)\sec^2(x)\,dx = \frac{1}{2}\,du elde edilir. İntegral sınırları ise x=0x=0 için u=0u=0 ve x=π4x=\frac{\pi}{4} için u=1u=1 olarak güncellenir. Bu değerler yerlerine yazıldığında integralin eş değeri önünde bir bölü iki katsayısı bulunan sıfırdan bire f türev u du şeklinde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme bağıntısını ve diferansiyelini belirleme
u=tan⁡2(x)u = \tan^2(x) olarak seçildiğinde diferansiyel alınırsa du=2tan⁡(x)⋅sec⁡2(x) dxdu = 2 \tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx elde edilir. Buradan tan⁡(x)⋅sec⁡2(x) dx=12 du\tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \, du bulunur.
İntegral içindeki ifadenin uu cinsinden yazılabilmesi için diferansiyel ilişkisi kurulmalıdır.
2
Belirli integral sınırlarını güncelleme
Alt sınır için x=0x = 0 iken u=tan⁡2(0)=0u = \tan^2(0) = 0 olur. Üst sınır için x=π4x = \frac{\pi}{4} iken u=tan⁡2(π4)=12=1u = \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1^2 = 1 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
3
Dönüşümleri integralde yerine yazma
∫0π4f′(tan⁡2(x))⋅(tan⁡(x)⋅sec⁡2(x) dx)=∫01f′(u)⋅(12 du)=12∫01f′(u) du\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f'(\tan^2(x)) \cdot \left(\tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx\right) = \int_{0}^{1} f'(u) \cdot \left(\frac{1}{2} \, du\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f'(u) \, du elde edilir.
Bulunan diferansiyel ifadesi ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak uu cinsinden eş değer integral elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ve integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru