Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTers Trigonometrik Fonksiyonlar
f(x)=arctan⁡(1x2+x+1)f(x) = \arctan\left(\frac{1}{x^2+x+1}\right)

olmak üzere,

tan⁡(f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(20))\tan\big(f(1) + f(2) + f(3) + \dots + f(20)\big)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2020
  2. 1011\frac{10}{11}Cevap
  3. C
    −1110-\frac{11}{10}
  4. D
    1921\frac{19}{21}
  5. E
    2121

Cevap

Doğru cevap olan 10/11 değeri, teleskopik toplam ve tanjant fark formülünün doğru uygulanması ile elde edilir.
Doğru cevap olan 10/11 değeri, genel terimin fark biçiminde yazılmasıyla elde edilen teleskopik toplamın sonucuna tanjant fark formülünün doğru bir şekilde uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terimin paydasındaki ifadeyi çarpanlarına ayırarak düzenleyin.
1x2+x+1=(x+1)−x1+x(x+1)\frac{1}{x^2+x+1} = \frac{(x+1) - x}{1 + x(x+1)}
Ters tanjant fark formülüne benzetmek amacıyla ifadeyi bu şekilde düzenliyoruz.
2
arctan⁡(a−b1+ab)=arctan⁡(a)−arctan⁡(b)\arctan\left(\frac{a-b}{1+ab}\right) = \arctan(a) - \arctan(b) özdeşliğini genel terime uygulayın.
f(x)=arctan⁡(x+1)−arctan⁡(x)f(x) = \arctan(x+1) - \arctan(x)
Fonksiyonu ardışık iki terimin farkı biçiminde yazarak teleskopik toplam elde etmek hedeflenmiştir.
3
x=1x = 1'den x=20x = 20'ye kadar olan terimleri yazarak toplayın.
T=f(1)+f(2)+⋯+f(20)=arctan⁡(21)−arctan⁡(1)T = f(1) + f(2) + \dots + f(20) = \arctan(21) - \arctan(1)
Ara terimlerin birbirini sadeleştirmesi sayesinde toplamın sade hali bulunur.
4
tan⁡(T)=tan⁡(arctan⁡(21)−arctan⁡(1))\tan(T) = \tan(\arctan(21) - \arctan(1)) ifadesini hesaplamak için tanjant fark formülünü uygulayın.
tan⁡(T)=21−11+21⋅1=2022=1011\tan(T) = \frac{21 - 1}{1 + 21 \cdot 1} = \frac{20}{22} = \frac{10}{11}
tan⁡(A−B)=tan⁡A−tan⁡B1+tan⁡Atan⁡B\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} formülü kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ve Trigonometrik Özdeşlikler
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru