Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTers Trigonometrik Fonksiyonlar
f(x)=arcsin⁡(2x1+x2)+arccos⁡(1−x21+x2)f(x) = \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \arccos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,

3π[f(2−3)+f(3)]\frac{3}{\pi} \left[ f(2-\sqrt{3}) + f(\sqrt{3}) \right]

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

İfadenin sayısal değeri 4'tür.
Tanım ve değer aralıklarına dikkat edilerek yapılan hesaplamalarda, f(2−3)=π3f(2-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} ve f(3)=πf(\sqrt{3}) = \pi olarak bulunur. Bu değerlerin toplamının 3π\frac{3}{\pi} katı alındığında sonuç 4 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
x=2−3x = 2-\sqrt{3} değerini 2x1+x2\frac{2x}{1+x^2} ve 1−x21+x2\frac{1-x^2}{1+x^2} ifadelerinde yerine yazıp sadeleştirelim.
x2=(2−3)2=7−43x^2 = (2-\sqrt{3})^2 = 7-4\sqrt{3}

2x1+x2=2(2−3)1+7−43=4−238−43=12\frac{2x}{1+x^2} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{1+7-4\sqrt{3}} = \frac{4-2\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}

1−x21+x2=1−(7−43)8−43=−6+438−43=23(2−3)4(2−3)=32\frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1-(7-4\sqrt{3})}{8-4\sqrt{3}} = \frac{-6+4\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{4(2-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Ters trigonometrik fonksiyonların içindeki cebirsel argümanları hesaplamak için.
2
f(2−3)f(2-\sqrt{3}) değerini bulmak için hesaplanan argümanları fonksiyonda yerleştirelim.
f(2−3)=arcsin⁡(12)+arccos⁡(32)f(2-\sqrt{3}) = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

arcsin⁡(12)=π6vearccos⁡(32)=π6\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \quad \text{ve} \quad \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}

f(2−3)=π6+π6=π3f(2-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}
arcsin⁡\arcsin ve arccos⁡\arccos fonksiyonlarının [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] ve [0,π][0, \pi] değer aralıklarındaki karşılıklarını bulmak için.
3
x=3x = \sqrt{3} değerini 2x1+x2\frac{2x}{1+x^2} ve 1−x21+x2\frac{1-x^2}{1+x^2} ifadelerinde yerine yazıp sadeleştirelim.
2x1+x2=231+3=32\frac{2x}{1+x^2} = \frac{2\sqrt{3}}{1+3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

1−x21+x2=1−31+3=−12\frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1-3}{1+3} = -\frac{1}{2}
x=3x = \sqrt{3} noktası için fonksiyonun argümanlarını belirlemek için.
4
f(3)f(\sqrt{3}) değerini bulmak için hesaplanan argümanları fonksiyonda yerleştirip ters trigonometrik fonksiyonların temel değer aralıklarına göre hesaplayalım.
f(3)=arcsin⁡(32)+arccos⁡(−12)f(\sqrt{3}) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)

arcsin⁡(32)=π3\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}

arccos⁡(−12)=π−π3=2π3\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}

f(3)=π3+2π3=πf(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi
arccos⁡(y)\arccos(y) fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] olduğundan, kosinüsü −1/2-1/2 olan açı 2π3\frac{2\pi}{3} olmalıdır.
5
Elde edilen f(2−3)=π3f(2-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} ve f(3)=πf(\sqrt{3}) = \pi değerlerini ana ifadede yerine koyalım.
3π[f(2−3)+f(3)]=3π(π3+π)=3π⋅4π3=4\frac{3}{\pi} \left[ f(2-\sqrt{3}) + f(\sqrt{3}) \right] = \frac{3}{\pi} \left( \frac{\pi}{3} + \pi \right) = \frac{3}{\pi} \cdot \frac{4\pi}{3} = 4
İstenen cebirsel ifadenin nihai sayısal sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer aralıkları (özellikle arccos⁡\arccos ve arcsin⁡\arcsin sınırları)
Bu soruyu puanla

Konular

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru