Examkin

Soru

Zorluk: ZorDeğişken Değiştirme Yöntemi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12f(x) dx=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4
eşitliği verilmiştir.
Buna göre,
∫ee2f(ln⁡x)+f(3−ln⁡x)x dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x) + f(3 - \ln x)}{x} \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    0
  2. B
    3
  3. C
    4
  4. 8Cevap
  5. E
    12

Cevap

8
Verilen integral iki parçaya ayrılıp sırasıyla u=ln⁡xu = \ln x ve v=3−ln⁡xv = 3 - \ln x dönüşümleri yapıldığında, her iki integralin de sınırları güncellenerek ∫12f(x) dx\int_{1}^{2} f(x) \, dx ifadesine dönüşür. Dolayısıyla her iki integralin değeri de 4 olur ve toplamları 8 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen integral ifadesini daha rahat incelemek için iki ayrı integralin toplamı şeklinde yazın.
∫ee2f(ln⁡x)x dx+∫ee2f(3−ln⁡x)x dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x)}{x} \, dx + \int_{e}^{e^2} \frac{f(3 - \ln x)}{x} \, dx elde edilir.
Her bir terimde yapılacak değişken değiştirme adımlarını bağımsız olarak yönetebilmek için.
2
Birinci integral olan ∫ee2f(ln⁡x)x dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x)}{x} \, dx ifadesi için u=ln⁡xu = \ln x değişken değiştirmesini uygulayın.
du=1x dxdu = \frac{1}{x} \, dx olur. Sınırlar ise x=ex = e için u=1u = 1 ve x=e2x = e^2 için u=2u = 2 olarak güncellenir. Bu durumda birinci integral ∫12f(u) du=4\int_{1}^{2} f(u) \, du = 4 haline gelir.
Logaritmik ifadeyi doğrusal bir değişkene dönüştürmek ve soruda verilen integral değerini kullanabilmek için.
3
İkinci integral olan ∫ee2f(3−ln⁡x)x dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(3 - \ln x)}{x} \, dx ifadesi için v=3−ln⁡xv = 3 - \ln x değişken değiştirmesini uygulayın.
dv=−1x dx⇒1x dx=−dvdv = -\frac{1}{x} \, dx \Rightarrow \frac{1}{x} \, dx = -dv olur. Sınırlar ise x=ex = e için v=3−1=2v = 3 - 1 = 2 ve x=e2x = e^2 için v=3−2=1v = 3 - 2 = 1 olarak güncellenir.
İkinci terimdeki bileşke fonksiyon yapısını çözerek integrali hesaplanabilir hale getirmek için.
4
Elde edilen yeni sınırları ve diferansiyeli ikinci integralde yerine yazarak integralin değerini hesaplayın.
∫21f(v) (−dv)=∫12f(v) dv=4\int_{2}^{1} f(v) \, (-dv) = \int_{1}^{2} f(v) \, dv = 4 olarak bulunur.
Belirli integralde sınırların yer değiştirmesinin integrali eksi ile çarptığı özelliğini kullanarak integral değerini bulmak için.
5
Bulunan iki integral değerini toplayarak toplam integralin sonucuna ulaşın.
4+4=84 + 4 = 8 elde edilir.
İntegral toplam özelliğine göre parçalanan kısımların toplam değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru