Bir torbada 4 kırmızı ve 6 beyaz top bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir top çekiliyor. Ç… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir torbada $4$ kırmızı ve $6$ beyaz top bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir top çekiliyor. Çekilen bu top torbaya geri konulmayıp, yerine diğer renkten $2$ top torbaya ekleniyor. Daha sonra torbadan rastgele ikinci bir top çekiliyor.

İkinci çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre, ilk çekilen topun beyaz olma olasılığı kaçtır?

Cevap: 0.75

Cevap

İlk çekilen topun beyaz olma olasılığı 0,75'tir.

İkinci çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğinden, örnek uzay sadece ikinci topun kırmızı geldiği durumlara kısıtlanır. İlk topun beyaz ve ikinci topun kırmızı gelme olasılığının (36/110), ikinci topun kırmızı gelme toplam olasılığına (48/110) oranı bize koşullu olasılığı 3/4 = 0,75 olarak verir.

Adım Adım Çözüm

İlk çekimde kırmızı top gelme durumunu ve sonrasındaki torba içeriğini analiz etme.

İlk çekimde kırmızı gelme olasılığı

P(K_1) = \frac{4}{10}

'dur. Kırmızı top geri atılmayıp yerine

2

beyaz top konulduğunda torbada

3

kırmızı,

8

beyaz top kalır. Bu durumda ikinci çekimde kırmızı gelme olasılığı

P(K_2|K_1) = \frac{3}{11}

olur. İkisinin birlikte gerçekleşme olasılığı

P(K_1 \cap K_2) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{11} = \frac{12}{110}

'dur.

Bayes teoreminde kullanılacak olan ilk durumun kesişim olasılığını bulmak.

İlk çekimde beyaz top gelme durumunu ve sonrasındaki torba içeriğini analiz etme.

İlk çekimde beyaz gelme olasılığı

P(B_1) = \frac{6}{10}

'dur. Beyaz top geri atılmayıp yerine

2

kırmızı top konulduğunda torbada

6

kırmızı,

5

beyaz top kalır. Bu durumda ikinci çekimde kırmızı gelme olasılığı

P(K_2|B_1) = \frac{6}{11}

olur. İkisinin birlikte gerçekleşme olasılığı

P(B_1 \cap K_2) = \frac{6}{10} \times \frac{6}{11} = \frac{36}{110}

'dur.

Bayes teoreminde kullanılacak olan ikinci durumun kesişim olasılığını bulmak.

İkinci çekilen topun kırmızı olma toplam olasılığını hesaplama.

P(K_2) = P(K_1 \cap K_2) + P(B_1 \cap K_2) = \frac{12}{110} + \frac{36}{110} = \frac{48}{110}

'dur.

Koşullu olasılık formülünün paydasını (kısıtlanmış örnek uzayın olasılığını) bulmak.

İkinci topun kırmızı olduğu bilindiğine göre ilk topun beyaz olma olasılığını hesaplama.

P(B_1|K_2) = \frac{P(B_1 \cap K_2)}{P(K_2)} = \frac{36/110}{48/110} = \frac{36}{48} = \frac{3}{4} = 0,75

'tir.

Koşullu olasılık tanımını uygulayarak istenen nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru