Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(x) dx=5\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 5
∫36f(x) dx=8\int_{3}^{6} f(x) \, dx = 8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫25[2f(x−1)−f(x+1)] dx\int_{2}^{5} [2f(x-1) - f(x+1)] \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. 2Cevap
  2. B
    5
  3. C
    8
  4. D
    11
  5. E
    18

Cevap

İntegralin doğru değeri 2'dir.
Verilen integral, belirli integralin özellikleri ve değişken değiştirme yöntemi kullanılarak iki ayrı integrale bölünür. İlk kısımda yapılan dönüşümle sınırlar [1, 4] aralığına, ikinci kısımda ise [3, 6] aralığına taşınır. Bu aralıklardaki integral değerleri soruda sırasıyla 5 ve 8 olarak verilmiştir. Katsayılar ve çıkarma işlemi uygulandığında sonuç 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terim olan ∫252f(x−1) dx\int_{2}^{5} 2f(x-1) \, dx integrali için değişken değiştirme uygulamak.
u=x−1u = x-1 dönüşümü yapılır. Buradan du=dxdu = dx olur. Sınırlar güncellenir: x=2x=2 için u=1u=1 ve x=5x=5 için u=4u=4 elde edilir. Böylece integral 2∫14f(u) du2 \int_{1}^{4} f(u) \, du haline gelir.
Belirli integralde değişken değiştirme yapıldığında sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
2
İkinci terim olan ∫25f(x+1) dx\int_{2}^{5} f(x+1) \, dx integrali için değişken değiştirme uygulamak.
v=x+1v = x+1 dönüşümü yapılır. Buradan dv=dxdv = dx olur. Sınırlar güncellenir: x=2x=2 için v=3v=3 ve x=5x=5 için v=6v=6 elde edilir. Böylece integral ∫36f(v) dv\int_{3}^{6} f(v) \, dv haline gelir.
Belirli integralde sınırları ve diferansiyeli yeni değişkene göre ifade etmek integralin değerini bulmamızı sağlar.
3
Verilen integral değerlerini yerlerine yazarak sonucu hesaplamak.
∫14f(x) dx=5\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 5 olduğundan ilk kısım 2×5=102 \times 5 = 10 olur. ∫36f(x) dx=8\int_{3}^{6} f(x) \, dx = 8 olduğundan ikinci kısım 88 olur. Sonuç olarak 10−8=210 - 8 = 2 elde edilir.
İntegralin lineerlik özelliği kullanılarak terimlerin farkı alınır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi ve sınırların güncellenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru