Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡x−3(10x−x2−9)f(x) = \log_{x - 3}(10x - x^2 - 9) fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
  1. A
    29
  2. B
    30
  3. 26Cevap
  4. D
    31
  5. E
    35

Cevap

Logaritma tanım kümesi kuralları uygulandığında en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 26 olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanın sıfırdan büyük olması (10x−x2−9>0  ⟹  1<x<910x - x^2 - 9 > 0 \implies 1 < x < 9), tabanın sıfırdan büyük olması (x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3) ve tabanın 1'den farklı olması (x−3≠1  ⟹  x≠4x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4) gerekir. Bu üç koşulun kesişimi alındığında en geniş tanım kümesi (3,9)∖{4}(3, 9) \setminus \{4\} olarak elde edilir. Bu kümede yer alan tam sayılar 5,6,75, 6, 7 ve 88'dir. Bu sayıların toplamı ise 2626'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın tanımlı olması için argümanın (iç kısmının) sıfırdan büyük olma koşulu incelenir.
10x−x2−9>0  ⟹  x2−10x+9<0  ⟹  (x−1)(x−9)<0  ⟹  x∈(1,9)10x - x^2 - 9 > 0 \implies x^2 - 10x + 9 < 0 \implies (x-1)(x-9) < 0 \implies x \in (1, 9)
Logaritma tanımı gereği logaritması alınan ifade daima pozitif bir gerçel sayı olmalıdır.
2
Logaritmanın tabanının pozitif olması ve 1'e eşit olmaması koşulları incelenir.
x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3 ve x−3≠1  ⟹  x≠4x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4
Logaritma fonksiyonunun tabanı pozitif ve 1'den farklı bir gerçel sayı olmalıdır.
3
Elde edilen tüm aralıkların kesişimi alınarak en geniş tanım kümesi bulunur.
x∈(1,9)∩(3,∞)∖{4}  ⟹  x∈(3,9)∖{4}x \in (1, 9) \cap (3, \infty) \setminus \{4\} \implies x \in (3, 9) \setminus \{4\}
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tüm bileşenlerinin aynı anda tanımlılık şartlarını sağlaması gerekir.
4
Tanım kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
Tanım kümesindeki tam sayılar: 5,6,7,85, 6, 7, 8. Toplamları: 5+6+7+8=265 + 6 + 7 + 8 = 26.
Soruda en geniş tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken hem tabanın sıfırdan büyük ve 1'den farklı olması hem de argümanın sıfırdan büyük olması şartlarının kesişimi alınmalıdır.

Alternatif Yöntem

Eşitsizlik sistemi çözmek yerine, argümanın kökleri bulunarak sınırlandırılan aralıktaki tam sayılar taban kurallarına göre tek tek denenebilir. Argümanı pozitif yapan aralık 1<x<91 < x < 9 aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılardan x=2x=2 ve x=3x=3 değerleri tabanı negatif veya sıfır yaptığı için, x=4x=4 ise tabanı 1 yaptığı için elenir. Geriye kalan 5,6,7,85, 6, 7, 8 değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi