Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡x+42x−2(x2−2x−8100−x2)f(x) = \log_{\frac{x+4}{2x-2}}\left(\frac{x^2 - 2x - 8}{100 - x^2}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevap: -6

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı -6'dır.
Logaritma tanım kurallarına göre taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise pozitif olmalıdır. Bu koşullardan elde edilen eşitsizliklerin ortak çözüm kümesi olan (−10,−4)∪(4,6)∪(6,10)(-10, -4) \cup (4, 6) \cup (6, 10) aralığındaki tam sayıların toplamı −6-6 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın pozitif olması koşulunu incele
x∈(−∞,−4)∪(1,∞)x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty)
Logaritmanın tabanı daima sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Tabanın 1'den farklı olması koşulunu incele
x≠6x \neq 6
Logaritmanın tabanı 1 olamaz.
3
Argümanın pozitif olması koşulunu incele
x∈(−10,−2)∪(4,10)x \in (-10, -2) \cup (4, 10)
Logaritması alınan ifade daima sıfırdan büyük olmalıdır.
4
Bulunan koşulların kesişimini al
x∈(−10,−4)∪(4,6)∪(6,10)x \in (-10, -4) \cup (4, 6) \cup (6, 10)
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tüm koşulların aynı anda sağlanması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları belirle ve topla
Tam sayılar: −9,−8,−7,−6,−5,5,7,8,9-9, -8, -7, -6, -5, 5, 7, 8, 9; Toplam: −6-6
Tanım kümesi aralıklarındaki tam sayı değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken tabanın pozitif ve 1'den farklı, argümanın ise pozitif olması şartları rasyonel eşitsizlik sistemleri yardımıyla çözülür.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi