Examkin

Soru

Zorluk: KolaySabit ve Eşit Diziler

I. an=2n−6n−3a_n = \frac{2n - 6}{n - 3}
II. bn=3n+12n+4b_n = \frac{3n + 12}{n + 4}
III. cn=4n−82n−4c_n = \frac{4n - 8}{2n - 4}

Yukarıda genel terimleri verilen ifadelerden hangileri bir sabit dizi belirtir?

  1. A
    Yalnız I
  2. Yalnız IICevap
  3. C
    I ve II
  4. D
    II ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

Yalnız II seçeneği doğrudur. Bir ifadenin dizi belirtebilmesi için pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olması gerekir. İkinci ifadenin paydasını sıfır yapan değer negatif olduğundan dizi tanımlıdır ve sadeleştirildiğinde sabit bir değer alır.
Doğru cevap yalnızca ikinci ifadenin sabit bir dizi belirttiğini gösteren seçenektir. Bir ifadenin dizi belirtebilmesi için pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olması gerekir. İkinci ifadenin paydasını sıfır yapan değer negatif bir sayı olan -4 sayısıdır. Negatif sayılar dizilerin tanım kümesinde yer almadığı için dizi tüm terimleri için tanımlıdır ve sadeleştirildiğinde sabit bir değer alır. Birinci ve üçüncü ifadelerin paydalarını sıfır yapan değerler ise pozitif tam sayılar olduğundan bu ifadeler dizi belirtmezler.

Adım Adım Çözüm

1
Dizi tanımını ve tanımlılık koşulunu belirleyelim.
Bir genel terimin dizi belirtebilmesi için tüm pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) için tanımlı olması gerekir. Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan nn değerinin pozitif tam sayı olup olmadığı incelenmelidir.
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesidir.
2
Birinci ifadeyi inceleyelim: an=2n−6n−3a_n = \frac{2n - 6}{n - 3}
Paydayı sıfır yapan değer n−3=0⇒n=3n - 3 = 0 \Rightarrow n = 3 olur. 33 bir pozitif tam sayı olduğundan, dizinin 3. terimi (a3a_3) tanımsızdır.
Tanımsız terim bulunduğundan bu ifade bir dizi belirtmez.
3
İkinci ifadeyi inceleyelim: bn=3n+12n+4b_n = \frac{3n + 12}{n + 4}
Paydayı sıfır yapan değer n+4=0⇒n=−4n + 4 = 0 \Rightarrow n = -4 olur. −4-4 pozitif tam sayı olmadığından dizi tüm pozitif tam sayılarda tanımlıdır. Sadeleştirildiğinde bn=3(n+4)n+4=3b_n = \frac{3(n+4)}{n+4} = 3 sabit değerini alır.
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için bn=3b_n = 3 sabit değerine eşit olduğundan bu ifade bir sabit dizidir.
4
Üçüncü ifadeyi inceleyelim: cn=4n−82n−4c_n = \frac{4n - 8}{2n - 4}
Paydayı sıfır yapan değer 2n−4=0⇒n=22n - 4 = 0 \Rightarrow n = 2 olur. 22 bir pozitif tam sayı olduğundan, dizinin 2. terimi (c2c_2) tanımsızdır.
Tanımsız terim bulunduğundan bu ifade bir dizi belirtmez.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesi ve rasyonel sabit dizilerde tanımlılık koşulu.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sabit ve Eşit Diziler

Bu konudan daha fazla soru