Examkin

Sabit ve Eşit Diziler

13 soru

Tüm türler13Çoktan seçmeli8Sayısal5
Soru 1Soru →

I. an=2n−6n−3a_n = \frac{2n - 6}{n - 3}
II. bn=3n+12n+4b_n = \frac{3n + 12}{n + 4}
III. cn=4n−82n−4c_n = \frac{4n - 8}{2n - 4}

Yukarıda genel terimleri verilen ifadelerden hangileri bir sabit dizi belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II seçeneği doğrudur. Bir ifadenin dizi belirtebilmesi için pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olması gerekir. İkinci ifadenin paydasını sıfır yapan değer negatif olduğundan dizi tanımlıdır ve sadeleştirildiğinde sabit bir değer alır.
Doğru cevap yalnızca ikinci ifadenin sabit bir dizi belirttiğini gösteren seçenektir. Bir ifadenin dizi belirtebilmesi için pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olması gerekir. İkinci ifadenin paydasını sıfır yapan değer negatif bir sayı olan -4 sayısıdır. Negatif sayılar dizilerin tanım kümesinde yer almadığı için dizi tüm terimleri için tanımlıdır ve sadeleştirildiğinde sabit bir değer alır. Birinci ve üçüncü ifadelerin paydalarını sıfır yapan değerler ise pozitif tam sayılar olduğundan bu ifadeler dizi belirtmezler.

Adım Adım Çözüm

1
Dizi tanımını ve tanımlılık koşulunu belirleyelim.
Bir genel terimin dizi belirtebilmesi için tüm pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) için tanımlı olması gerekir. Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan nn değerinin pozitif tam sayı olup olmadığı incelenmelidir.
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesidir.
2
Birinci ifadeyi inceleyelim: an=2n−6n−3a_n = \frac{2n - 6}{n - 3}
Paydayı sıfır yapan değer n−3=0⇒n=3n - 3 = 0 \Rightarrow n = 3 olur. 33 bir pozitif tam sayı olduğundan, dizinin 3. terimi (a3a_3) tanımsızdır.
Tanımsız terim bulunduğundan bu ifade bir dizi belirtmez.
3
İkinci ifadeyi inceleyelim: bn=3n+12n+4b_n = \frac{3n + 12}{n + 4}
Paydayı sıfır yapan değer n+4=0⇒n=−4n + 4 = 0 \Rightarrow n = -4 olur. −4-4 pozitif tam sayı olmadığından dizi tüm pozitif tam sayılarda tanımlıdır. Sadeleştirildiğinde bn=3(n+4)n+4=3b_n = \frac{3(n+4)}{n+4} = 3 sabit değerini alır.
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için bn=3b_n = 3 sabit değerine eşit olduğundan bu ifade bir sabit dizidir.
4
Üçüncü ifadeyi inceleyelim: cn=4n−82n−4c_n = \frac{4n - 8}{2n - 4}
Paydayı sıfır yapan değer 2n−4=0⇒n=22n - 4 = 0 \Rightarrow n = 2 olur. 22 bir pozitif tam sayı olduğundan, dizinin 2. terimi (c2c_2) tanımsızdır.
Tanımsız terim bulunduğundan bu ifade bir dizi belirtmez.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesi ve rasyonel sabit dizilerde tanımlılık koşulu.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2Soru →

(an)(a_n) dizisi, genel terimi

an=k⋅n+123n+4a_n = \frac{k \cdot n + 12}{3n + 4}

olan bir sabit dizidir.

Buna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Sabit dizinin genel terimindeki pay ve payda kısımlarında bulunan terimlerin katsayıları oranlanarak kk değeri 9 olarak bulunur.
Genel terimi rasyonel fonksiyon şeklinde olan bir dizinin sabit dizi belirtebilmesi için pay ve paydasındaki aynı dereceli terimlerin katsayılarının oranı birbirine eşit olmalıdır. Tanım kümesi pozitif tam sayılar olduğundan paydanın kökü olan −43-\frac{4}{3} değeri tanım kümesinde yer almaz ve dizi her nn pozitif tam sayısı için tanımlıdır. Bu doğrultuda paydaki nn'nin katsayısı olan kk'nin paydadaki nn'nin katsayısı olan 33'e oranı, paydaki sabit terim 1212'nin paydadaki sabit terim 44'e oranına eşit olmalıdır. Buradan k3=124⇒k3=3⇒k=9\frac{k}{3} = \frac{12}{4} \Rightarrow \frac{k}{3} = 3 \Rightarrow k = 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit dizi tanımını kullanarak pay ve paydadaki nn terimlerinin katsayıları oranı ile sabit terimlerin oranını birbirine eşitlemek.
k3=124\frac{k}{3} = \frac{12}{4}
Bir rasyonel ifadenin nn değişkeninin her pozitif tam sayı değeri için aynı sabit değere eşit olabilmesi için pay ve paydadaki aynı dereceli terimlerin katsayılarının orantılı olması gerekir.
2
Elde edilen rasyonel denklemi çözmek.
k=9k = 9
124=3\frac{12}{4} = 3 olduğundan k3=3\frac{k}{3} = 3 eşitliği elde edilir ve buradan k=9k = 9 bulunur.

Anahtar Kavram

Rasyonel İfadeli Sabit Dizilerde Katsayılar Oranı
Soru 3Soru →
(an)(a_n) dizisi, genel terimi
an=2n2+k⋅n+12n2−m⋅n+6a_n = \frac{2n^2 + k \cdot n + 12}{n^2 - m \cdot n + 6}
olan bir sabit dizidir.

n2−m⋅n+6=0n^2 - m \cdot n + 6 = 0 denkleminin kökleri birer tam sayı olduğuna göre, kk sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

k sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 24'tür.
Dizinin sabit olması için pay ve paydanın katsayıları oranından k=−2mk = -2m elde edilir. İfadenin her pozitif tam sayı için tanımlı (bir dizi) olması gerektiğinden, paydanın pozitif tam sayı kökü olmamalıdır. Kökler çarpımı 6 olan tam sayı kök çiftlerinden yalnızca negatif olanlar ({−1,−6}\{-1, -6\} ve {−2,−3}\{-2, -3\}) bu şartı sağlar. Buradan mm değerleri −7-7 ve −5-5 bulunur. Bu değerlere karşılık gelen kk değerleri 1414 ve 1010 olup, toplamları 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin sabit dizi olma koşulunu belirleme
k=−2mk = -2m bağıntısı elde edilir.
Rasyonel ifadenin nn değişkeninden bağımsız olması için katsayılarının orantılı olması gerekir.
2
Dizinin tanım kümesi şartını analiz etme
Payda olan n2−m⋅n+6n^2 - m \cdot n + 6 ifadesinin pozitif tam sayı kökü olmamalıdır.
Bir dizinin terimleri tüm pozitif tam sayılar için tanımlı olmalıdır; paydanın sıfır olduğu n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri diziyi tanımsız yapar.
3
Paydanın köklerinin tam sayı olma durumlarını listeleme
Kök çarpımı 66 olduğundan olası kök kümesi çiftleri: {1,6}\{1, 6\} (buradan m=7m = 7), {2,3}\{2, 3\} (buradan m=5m = 5), {−1,−6}\{-1, -6\} (buradan m=−7m = -7) ve {−2,−3}\{-2, -3\} (buradan m=−5m = -5)
n2−m⋅n+6=0n^2 - m \cdot n + 6 = 0 denkleminin kökleri çarpımı c/a=6c/a = 6 ve kökleri tam sayıdır.
4
Pozitif tam sayı kökleri eleyerek geçerli mm ve kk değerlerini bulma
Geçerli kökler negatif olanlardır, yani m∈{−7,−5}m \in \{-7, -5\}. Buradan k=14k = 14 ve k=10k = 10 bulunur.
n=1,2,3,6n = 1, 2, 3, 6 değerleri pozitif tam sayı olup diziyi tanımsız yapacağından bu köklere sahip m=7m = 7 ve m=5m = 5 durumları elenir. Negatif köklere sahip olan m=−7m = -7 ve m=−5m = -5 durumlarında payda pozitif tam sayılarda sıfır olmaz.
5
Farklı kk değerlerinin toplamını hesaplama
14+10=2414 + 10 = 24
İstenen farklı kk değerlerinin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde rasyonel ifadelerin sadeleşme koşulu ve dizilerin pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olması zorunluluğu.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 4Soru →

x,yx, y ve kk birer tam sayı olmak üzere, genel terimi

an=x⋅n2+y⋅n+12n2−k⋅n+6a_n = \frac{x \cdot n^2 + y \cdot n + 12}{n^2 - k \cdot n + 6}

olan (an)(a_n) ifadesi sabit bir dizidir.

n2−k⋅n+6=0n^2 - k \cdot n + 6 = 0

denkleminin kökleri birer tam sayı olduğuna göre, x+y+kx + y + k toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İfadenin alabileceği farklı değerlerin toplamı 16'dır.
Doğru yanıt, sabit dizi tanımından hareketle katsayılar oranını kurup x=2x = 2 ve y=−2ky = -2k eşitliklerini elde eden, ardından paydanın pozitif tam sayılarda sıfır olmaması gerektiği bilgisini kullanarak kökleri pozitif tam sayılar olan durumları eleyen ve geriye kalan negatif köklü durumlardan toplamı 16 bulan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit dizi tanımını kullanarak pay ve paydadaki aynı dereceli terimlerin katsayıları oranını eşitleyin.
x=2x = 2 ve y=−2ky = -2k olarak bulunur.
Sabit dizilerde genel terimin değeri nn değişkeninden bağımsız olmalıdır. Bu nedenle, rasyonel ifadelerde pay ve paydanın katsayıları orantılı olmak zorundad��r.
2
x+y+kx + y + k ifadesini tek bir değişken cinsinden ifade edin.
x+y+k=2−2k+k=2−kx + y + k = 2 - 2k + k = 2 - k elde edilir.
Değişken sayısını azaltarak çözümü tek bir bilinmeyen olan kk parametresine indirgemek.
3
n2−k⋅n+6=0n^2 - k \cdot n + 6 = 0 denkleminin köklerinin tam sayı olma koşulunu analiz edin.
Kökler çarpımı n1⋅n2=6n_1 \cdot n_2 = 6 olmalıdır. Buradan kökler toplamı kk için olası tam sayı değerleri 7,5,−7,−57, 5, -7, -5 olarak bulunur.
Köklerin birer tam sayı olması, çarpımlarının 6 sayısının tam sayı bölenleri olmasını gerektirir.
4
Dizilerin pozitif tam sayılar kümesinde (Z+\mathbb{Z}^+) tanımlı olması kuralını uygulayarak tanımsızlık yaratan kk değerlerini eleyin.
k=5k = 5 ve k=7k = 7 değerleri elenir; geriye yalnızca k=−5k = -5 ve k=−7k = -7 kalır.
k=5k = 5 için paydanın kökleri 22 ve 33, k=7k = 7 için paydanın kökleri 11 ve 66 olur. Bu pozitif tam sayı değerlerinde dizinin terimleri tanımsız kalacağı için bu durumlar bir dizi belirtmez. k=−5k = -5 ve k=−7k = -7 için ise kökler negatif tam sayılar olduğundan dizide tanımsızlık oluşmaz.
5
Geçerli kk değerleri için 2−k2 - k ifadesinin alacağı değerleri hesaplayıp toplayın.
k=−5  ⟹  2−(−5)=7k = -5 \implies 2 - (-5) = 7 ve k=−7  ⟹  2−(−7)=9k = -7 \implies 2 - (-7) = 9 bulunur. Toplamları ise 7+9=167 + 9 = 16'dır.
Soruda istenen x+y+kx + y + k toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Dizilerin tanım kümesi gereği pozitif tam sayılarda her teriminin tanımlı olma zorunluluğu ve rasyonel sabit dizilerde katsayı ilişkisi
Soru 5Soru →

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için

an=cos⁡2(nπ2)+a⋅sin⁡2(nπ4)+b⋅(−1)na_n = \cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right) + a \cdot \sin^2\left(\frac{n\pi}{4}\right) + b \cdot (-1)^n
bn=c⋅n+62n−db_n = \frac{c \cdot n + 6}{2n - d}

genel terimleriyle tanımlanıyor.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) eşit iki dizi olduğuna göre, a+b+c+da + b + c + d toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −232-\frac{23}{2}

Cevap

−232-\frac{23}{2}
Seçenekler arasında yer alan −232-\frac{23}{2} değeri doğrudur. Çünkü (an)(a_n) dizisinin her n≥1n \ge 1 için sabit kalmasını sağlayan yegane değerler a=0a = 0 ve b=−1/2b = -1/2'dir. Bu durumda dizi an=1/2a_n = 1/2 sabit dizisine dönüşür. (bn)(b_n) dizisinin bu diziye eşit olabilmesi için her n≥1n \ge 1 için bn=1/2b_n = 1/2 olmalıdır. Bu koşuldan c=1c = 1 ve d=−12d = -12 bulunur. Parametrelerin toplamı da −232-\frac{23}{2} değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
(an)(a_n) dizisinin terimlerini nn değerlerine göre analiz edelim.
n=1n=1 için: a1=cos⁡2(π/2)+asin⁡2(π/4)−b=a2−ba_1 = \cos^2(\pi/2) + a \sin^2(\pi/4) - b = \frac{a}{2} - b
n=2n=2 için: a2=cos⁡2(π)+asin⁡2(π/2)+b=1+a+ba_2 = \cos^2(\pi) + a \sin^2(\pi/2) + b = 1 + a + b
n=3n=3 için: a3=cos⁡2(3π/2)+asin⁡2(3π/4)−b=a2−ba_3 = \cos^2(3\pi/2) + a \sin^2(3\pi/4) - b = \frac{a}{2} - b
n=4n=4 için: a4=cos⁡2(2π)+asin⁡2(π)+b=1+ba_4 = \cos^2(2\pi) + a \sin^2(\pi) + b = 1 + b
Dizinin sabit dizi olabilmesi için tüm terimlerinin birbirine eşit olması gerekir. Bu nedenle ilk birkaç terimi hesaplayarak parametreler arasındaki ilişkileri bulmalıyız.
2
Elde edilen terimlerin eşitliğini kullanarak aa ve bb değerlerini çözelim.
a2=a4  ⟹  1+a+b=1+b  ⟹  a=0a_2 = a_4 \implies 1 + a + b = 1 + b \implies a = 0
a1=a4  ⟹  a2−b=1+b  ⟹  0−b=1+b  ⟹  2b=−1  ⟹  b=−12a_1 = a_4 \implies \frac{a}{2} - b = 1 + b \implies 0 - b = 1 + b \implies 2b = -1 \implies b = -\frac{1}{2}
Sabit dizi tanımı gereği a1=a2=a3=a4a_1 = a_2 = a_3 = a_4 olmalıdır. Bu denklemler çözüldüğünde tek bir (a,b)(a, b) ikilisi elde edilir.
3
(an)(a_n) dizisinin sabit değerini belirleyelim.
an=12a_n = \frac{1}{2} (her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için)
Bulunan a=0a=0 ve b=−1/2b=-1/2 değerleri yerine yazıldığında, dizinin tüm terimlerinin 1/21/2 olduğu g��rülür.
4
(bn)(b_n) dizisinin de sabit değeri 1/21/2 olan bir dizi olması gerektiğini kullanarak cc ve dd değerlerini hesaplayalım.
bn=c⋅n+62n−d=12  ⟹  2cn+12=2n−d  ⟹  c=1b_n = \frac{c \cdot n + 6}{2n - d} = \frac{1}{2} \implies 2cn + 12 = 2n - d \implies c = 1 ve d=−12d = -12
(an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizilerinin eşit olabilmesi için bnb_n dizisinin de her n≥1n \ge 1 için 1/21/2 değerine eşit olması gerekir. Buradan katsayılar eşitlenir.
5
Bulunan tüm parametrelerin toplamını hesaplayalım.
a+b+c+d=0+(−12)+1+(−12)=−232a + b + c + d = 0 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 + (-12) = -\frac{23}{2}
Soru kökünde istenen a+b+c+da+b+c+d toplamını bulmak için elde edilen değerleri toplarız.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde tüm terimler birbirine eşittir ve eşit dizilerin her n≥1n \ge 1 indisi için genel terimleri aynı sonucu vermelidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 6Soru →

Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri

an=∑i=1nlog⁡3(1−2(i+1)(i+2))a_n = \sum_{i=1}^{n} \log_3\left(1 - \frac{2}{(i+1)(i+2)}\right)
bn=log⁡9(n2+A⋅n+B9n2+C⋅n+9)b_n = \log_9\left( \frac{n^2 + A \cdot n + B}{9n^2 + C \cdot n + 9} \right)

genel terimleriyle tanımlanıyor.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) eşit diziler olduğuna göre, A+B+CA + B + C toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Dizilerin eşitliği koşulundan yararlanılarak A + B + C toplamı 33 olarak bulunur.
Logaritmik terimlerin toplamı teleskopik çarpım yöntemiyle sadeleştirilip taban eşitlemesi uygulandığında genel terimi veren ifade elde edilir. Bu ifade diğer diziyle eşitlendiğinde katsayılar belirlenir ve toplamları hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terimdeki logaritma argümanını rasyonel biçimde düzenleme.
i(i+3)(i+1)(i+2)\frac{i(i+3)}{(i+1)(i+2)}
Logaritmik toplamın sadeleştirilebilir bir çarpım yapısına dönüştürülmesi hedeflenir.
2
Teleskopik çarpım sadeleştirmesiyle toplamı hesaplama.
an=log⁡3(n+33n+3)a_n = \log_3\left(\frac{n+3}{3n+3}\right)
Logaritmaların toplamı, içlerinin çarpımına eşittir. Çarpım açılıp sadeleştirildiğinde genel terim tek bir logaritmik ifadeye indirgenir.
3
Taban eşitleme kuralı uygulanarak tabanın 9 yapılması.
an=log⁡9(n2+6n+99n2+18n+9)a_n = \log_9\left(\frac{n^2 + 6n + 9}{9n^2 + 18n + 9}\right)
bnb_n dizisinin logaritma tabanı 9 olduğu için ana_n dizisi ile doğrudan karşılaştırma yapılabilmesi amacıyla tabanlar eşitlenir.
4
İki dizinin eşitliğinden yararlanarak katsayıların karşılaştırılması.
A=6,B=9,C=18A = 6, B = 9, C = 18
Her n pozitif tam sayısı için iki ifadenin rasyonel kısımları özdeş olmalıdır.
5
Bilinmeyenlerin toplanması.
3333
Soru kökünde istenen A + B + C toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki dizinin eşit olması için tanım kümelerindeki her n pozitif tam sayısı için genel terimlerinin değerleri eşit olmalıdır.
Soru 7Soru →
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için genel terimi
an=∑k=1n1k(k+1)(k+2)a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}
olan (an)(a_n) dizisi ile genel terimi
bn=x⋅n2+y⋅nz⋅n2+w⋅n+16b_n = \frac{x \cdot n^2 + y \cdot n}{z \cdot n^2 + w \cdot n + 16}
olan (bn)(b_n) dizisi eşit iki dizidir.

Buna göre, x+y+z+wx + y + z + w toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Dizilerin eşitliğinden katsayılar oranlandığında doğru cevap 40 değeridir.
İki dizinin eşit olabilmesi için her pozitif tam sayı teriminde eşit olmaları gerekir. Genel terimi verilen birinci dizinin toplamı teleskopik toplam yardımıyla sadeleştirildiğinde payı n2+3nn^2 + 3n, paydası 4n2+12n+84n^2 + 12n + 8 olan bir kesir elde edilir. Bu diziyi genel terimi verilen ikinci diziye eşitlemek için paydadaki sabit terim olan 8 sayısı, ikinci dizinin paydasındaki sabit terim olan 16 ile eşitlenecek şekilde kesir 2 ile genişletilir. Genişletme sonucunda elde edilen katsayılar toplandığında doğru cevap olan 40 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terimdeki rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılması.
1k(k+1)(k+2)=12(1k(k+1)−1(k+1)(k+2))\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right) eşitliği elde edilir.
Teleskopik toplam yardımıyla dizinin genel terimini sadeleştirmek.
2
Toplam sembolünün teleskopik yöntemle açılması.
an=12[(11⋅2−12⋅3)+(12⋅3−13⋅4)+⋯+(1n(n+1)−1(n+1)(n+2))]a_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1\cdot 2} - \frac{1}{2\cdot 3}\right) + \left(\frac{1}{2\cdot 3} - \frac{1}{3\cdot 4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) \right] ifadesinden ara terimler sadeleşir.
Birbirini götüren terimleri belirleyip toplamı basitleştirmek.
3
Kalan terimlerin paydalarının eşitlenerek sadeleştirilmesi.
an=12(12−1(n+1)(n+2))=n2+3n4n2+12n+8a_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{n^2 + 3n}{4n^2 + 12n + 8} bulunur.
Dizinin genel terimini tek bir rasyonel ifade biçiminde yazmak.
4
ana_n ve bnb_n dizilerinin eşitliğinin kurulması.
n2+3n4n2+12n+8=x⋅n2+y⋅nz⋅n2+w⋅n+16\frac{n^2 + 3n}{4n^2 + 12n + 8} = \frac{x \cdot n^2 + y \cdot n}{z \cdot n^2 + w \cdot n + 16} eşitliği kurulur. bnb_n dizisinin paydasındaki sabit terim 16 olduğundan, ana_n ifadesi 2 ile genişletilerek 2n2+6n8n2+24n+16\frac{2n^2 + 6n}{8n^2 + 24n + 16} elde edilir.
Dizilerin tüm pozitif tam sayılar için eşit olması gerektiğinden katsayıları eşitlemek.
5
Katsayıların karşılaştırılması ve istenen toplamın hesabı.
x=2x = 2, y=6y = 6, z=8z = 8, w=24w = 24 olarak bulunur. Toplamları ise 2+6+8+24=402 + 6 + 8 + 24 = 40 elde edilir.
Bilinmeyen katsayıların değerlerini belirleyip toplamlarını bulmak.

Anahtar Kavram

Eşit Diziler ve Teleskopik Toplamlar

Alternatif Yöntem

Alternatif bir yol olarak, dizilerin eşitliğinden faydalanarak ilk birkaç terim hesaplanabilir. a1=11⋅2⋅3=16a_1 = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{6} ve a2=16+12⋅3⋅4=16+124=524a_2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{5}{24} bulunur. Buradan b1=x+yz+w+16=16b_1 = \frac{x+y}{z+w+16} = \frac{1}{6} ve b2=4x+2y4z+2w+16=524b_2 = \frac{4x+2y}{4z+2w+16} = \frac{5}{24} denklemleri elde edilir. Bu denklemler çözülerek katsayılar bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 8Soru →
(an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için
an=cos⁡(nπ)⋅(2x−y)+x+3ya_n = \cos(n\pi) \cdot (2x - y) + x + 3y
bn=sin⁡((2n+1)π2)⋅(x+2)+6b_n = \sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right) \cdot (x + 2) + 6
genel terimleriyle verilmektedir.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) eşit iki dizi olduğuna göre, x+yx + y toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizilerin eşitlik koşulu ve trigonometrik sadeleştirmeler kullanılarak elde edilen x = 3 ve y = 1 değerlerinin toplamı olan 4 sayısı doğru cevaptır.
Doğru cevabın 4 olmasının nedeni, her iki dizinin genel terimlerindeki (−1)n(-1)^n katsayılarının eşitliğinden x−y=2x - y = 2 ve sabit terimlerin eşitliğinden x+3y=6x + 3y = 6 denklemlerinin elde edilmesidir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde x=3x = 3 ve y=1y = 1 bulunur, toplamları ise 4 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik ifadeleri sadeleştirin.
cos⁡(nπ)=(−1)n\cos(n\pi) = (-1)^n ve sin⁡((2n+1)π2)=cos⁡(nπ)=(−1)n\sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right) = \cos(n\pi) = (-1)^n eşitlikleri elde edilir.
Her iki dizideki nn'e bağlı periyodik ifadeleri ortak bir tabanda yazmak için.
2
Dizilerin genel terimlerini (−1)n(-1)^n türünden yeniden yazın.
an=(−1)n(2x−y)+(x+3y)a_n = (-1)^n(2x - y) + (x + 3y) ve bn=(−1)n(x+2)+6b_n = (-1)^n(x + 2) + 6 olur.
Dizilerin terimlerini karşılaştırılabilir hale getirmek için.
3
Eşit dizilerin tanımını kullanarak katsayıları eşitleyin.
2x−y=x+2  ⟹  x−y=22x - y = x + 2 \implies x - y = 2 ve x+3y=6x + 3y = 6 denklem sistemi elde edilir.
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için an=bna_n = b_n eşitliğinin sağlanması, (−1)n(-1)^n teriminin katsayılarının ve sabit terimlerin karşılıklı eşit olmasını gerektirir.
4
Elde edilen denklem sistemini çözün ve istenen toplamı bulun.
y=1y = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur. Buradan x+y=3+1=4x + y = 3 + 1 = 4 elde edilir.
Bilinmeyen xx ve yy parametrelerinin değerlerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki dizinin eşit olması için her n pozitif tam sayısı için genel terimlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 9Soru →
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri
an=log⁡2(2n2+xn+y)−log⁡2(n2+3n+2)a_n = \log_2(2n^2 + xn + y) - \log_2(n^2 + 3n + 2)
bn=zb_n = z
olarak tanımlanıyor.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) eşit diziler olduğuna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Dizilerin eşitliği ve sabit dizi özellikleri kullanılarak elde edilen x = 6, y = 4 ve z = 1 değerlerinin toplamı 11'dir.
Dizilerin eşitliği ve sabit dizi özellikleri kullanılarak elde edilen x = 6, y = 4 ve z = 1 değerlerinin toplamı 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşit dizilerin tanımını kullanarak a_n ve b_n dizileri arasındaki ilişkiyi belirlemek.
Her n pozitif tam sayısı için a_n = b_n = z olmalıdır. Bu durum a_n dizisinin de sabit bir dizi olduğunu gösterir.
Eşit dizilerin tüm karşılıklı terimleri birbirine eşittir ve b_n dizisi sabit bir z değerine sahiptir.
2
Logaritmanın çıkarma özelliğini uygulayarak a_n ifadesini tek bir logaritma altında birleştirmek.
a_n = log_2((2n^2 + xn + y) / (n^2 + 3n + 2)) elde edilir.
Logaritma tabanları aynı olduğundan log_a(M) - log_a(N) = log_a(M/N) kuralı uygulanabilir.
3
Logaritmanın içerisindeki rasyonel ifadenin sabit olması koşulunu uygulamak ve katsayıları oranlamak.
2/1 = x/3 = y/2 oranından x = 6 ve y = 4 değerleri elde edilir. Rasyonel ifadenin sabit değeri C = 2 olur.
Dereceleri aynı olan iki polinomun bölümünün sabit bir fonksiyon belirtmesi için katsayılarının orantılı olması gerekir.
4
Bulunan sabit değeri logaritma içine yerleştirerek dizinin sabit terimini (z) bulmak.
z = log_2(2) = 1 elde edilir.
a_n dizisinin sabit değeri b_n dizisinin sabit terimi olan z'ye eşittir.
5
Bilinmeyen değerleri toplayarak nihai sonucu elde etmek.
x + y + z = 6 + 4 + 1 = 11 bulunur.
Soruda bizden x, y ve z değerlerinin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sabit ve Eşit Dizilerde katsayılar oranı ve logaritma özelliklerinin uygulanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 10Soru →
xx ve yy birer tam sayı olmak üzere, (an)(a_n) dizisinin genel terimi
an=x⋅n−122n−ya_n = \frac{x \cdot n - 12}{2n - y}
biçiminde tanımlanıyor.

(an)(a_n) dizisi bir sabit dizi olduğuna göre, x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -24

Cevap

Farklı değerlerin toplamı -24'tür.
Doğru seçenekte belirtilen değer, dizinin sabit dizi olma şartı olan katsayılar oranının eşitliği (x⋅y=24x \cdot y = 24) ile dizinin tüm pozitif tam sayılarda tanımlı olması şartının (paydayı sıfır yapan n=y/2n = y/2 değerinin pozitif tam sayı olmaması, yani yy'nin pozitif çift tam sayı olmaması) birlikte uygulanmasıyla elde edilen farklı x+yx+y değerlerinin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit dizi koşulunu uygulamak için pay ve paydadaki dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları oranlanır.
x2=−12−y⇒x⋅y=24\frac{x}{2} = \frac{-12}{-y} \Rightarrow x \cdot y = 24 elde edilir.
Dizinin genel teriminin sadeleşerek nn'den bağımsız bir sabit değer alabilmesi için.
2
Dizinin tüm pozitif tam sayılarda (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) tanımlı olabilmesi için paydayı sıfır yapan nn değerinin pozitif bir tam sayı olmaması gerektiği belirlenir.
2n−y=0⇒n=y22n - y = 0 \Rightarrow n = \frac{y}{2} olur. Buradan yy sayısının pozitif bir çift tam sayı olamayacağ�� sonucuna varılır.
Tanım kümesinde tanımsız eleman kalmaması ve ifadenin bir dizi belirtebilmesi için.
3
x.y = 24 denklemini sağlayan tam sayı bölen çiftlerinden yy'nin pozitif çift tam sayı olmadığı durumlar listelenir ve her durum için x+yx+y değerleri hesaplanır.
yy değerleri: 1,3,−1,−2,−3,−4,−6,−8,−12,−241, 3, -1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -24 olabilir. Bu değerlere karşılık gelen x+yx+y toplamları sırasıyla: 25,11,−25,−14,−11,−10,−10,−11,−14,−2525, 11, -25, -14, -11, -10, -10, -11, -14, -25 olarak bulunur.
Koşulları sağlayan tüm olası tam sayı çiftlerini tek tek değerlendirmek için.
4
Elde edilen farklı x+yx+y değerleri kümesi yazılır ve elemanları toplanır.
Farklı x+yx+y değerleri kümesi {25,11,−25,−14,−11,−10}\{25, 11, -25, -14, -11, -10\} olup, bu elemanların toplamı 25+11+(−25)+(−14)+(−11)+(−10)=−2425 + 11 + (-25) + (-14) + (-11) + (-10) = -24 elde edilir.
Soru kökünde istenen farklı toplam değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde katsayılar oranı ve tanım kümesi koşulu.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 11Soru →

kk ve pp birer tam sayı olmak üzere, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için genel terimi

an=k⋅n+242n−pa_n = \frac{k \cdot n + 24}{2n - p}

olan (an)(a_n) ifadesi bir sabit dizi belirtmektedir.

Buna göre, pp sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
Dizinin genel teriminin sabit olması için pay ve paydanın sadeleşerek sabit bir sayı vermesi gerekir, bu da k⋅p=−48k \cdot p = -48 eşitliğini gerektirir. Dizi tanımı gereği her n≥1n \ge 1 pozitif tam sayısı için tanımlı olmalıdır. Paydayı sıfır yapan p=2np = 2n değerleri pozitif çift tam sayılar olduğundan, 48'in pozitif çift bölenleri olan 8 değer elenir. Kalan 12 adet bölen tanımlılık şartına uyar.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel ifadenin sabit dizi belirtmesi için pay ve paydadaki değişkenlerin katsayıları oranını sabit terimlerin oranına eşitleriz.
k2=24−p  ⟹  k⋅p=−48\frac{k}{2} = \frac{24}{-p} \implies k \cdot p = -48 eşitliği elde edilir.
Bir dizinin terimlerinin indis nn'ye bağlı olmaksızın sabit kalması için pay ile paydanın sadeleşebilir ve sabit bir orana eşit olması gerekir.
2
kk ve pp tam sayı olduğundan, pp parametresinin alabileceği değerler 48 sayısının tam sayı bölenleri olmalıdır. 48'in tüm tam sayı bölenleri bulunur.
48'in pozitif bölenleri: {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\} (10 adet).
48'in negatif bölenleri: {−1,−2,−3,−4,−6,−8,−12,−16,−24,−48}\{-1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -16, -24, -48\} (10 adet).
Toplamda 20 farklı tam sayı böleni vardır.
Çarpımları −48-48 olan iki tam sayının çarpanları, 48 sayısının bölenleri arasından seçilmelidir.
3
Dizinin tanım kümesi pozitif tam sayılar (Z+\mathbb{Z}^+) olduğundan, genel terimin paydası hiçbir n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için sıfır olmamalıdır. Bu tanımlılık koşuluna göre pp'nin sınırları belirlenir.
2n−p≠0  ⟹  p≠2n2n - p \neq 0 \implies p \neq 2n (burada n∈{1,2,3,… }n \in \{1, 2, 3, \dots\}).
Bu koşul, pp parametresinin pozitif çift tam sayılar olamayacağını gösterir.
Eğer pp bir pozitif çift tam sayı olursa (örneğin p=2mp=2m), n=mn=m pozitif tam sayısı için payda sıfır olur ve dizinin mm. terimi tanımsız hale gelir.
4
Bulunan 20 tam sayı böleninden pozitif çift olanlar elenerek kalanların sayısı hesaplanır.
Elenen değerler: {2,4,6,8,12,16,24,48}\{2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\} (8 adet).
Kalan değerler: {1,3}\{1, 3\} ve tüm negatif bölenler olan {−1,−2,−3,−4,−6,−8,−12,−16,−24,−48}\{-1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -16, -24, -48\}.
Toplam uygun değer sayısı: 2+10=122 + 10 = 12 adettir.
Tanımlılık koşulunu sağlayan ve çarpımları −48-48 olan tüm olası pp tam sayı değerleri bunlardır.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde rasyonel ifadelerin katsayılar oranı ve dizilerin pozitif tam sayılarda tanımlı olma zorunluluğu (tanımsızlık durumları).
Soru 12Soru →
(an)(a_n) terimleri gerçel sayı olan sabit bir dizi olmak üzere, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için genel terimi
an=m⋅n2−(k−3)n+15n2−8n+pa_n = \frac{m \cdot n^2 - (k-3)n + 15}{n^2 - 8n + p}
biçiminde tanımlanıyor.

m,km, k ve pp birer tam sayı olduğuna göre, mm'nin alabileceği en büyük değer için k+pk + p toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 124

Cevap

m'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 15 olup, bu değer için k = 123 ve p = 1'dir. Buradan k + p toplamı 124 olarak bulunur.
Sabit dizi koşulu gereğince değişkenlerin katsayıları oranlanarak m, k, p arasındaki ilişkiler bulunur. Ayrıca dizinin her n pozitif tam sayısı için tanımlı olabilmesi amacıyla paydanın köklerinin pozitif tam sayı olmaması gerektiği tespit edilir. Bu koşulları sağlayan en büyük m tam sayısı 15 olarak belirlenir ve bu değer için k = 123, p = 1 bulunarak toplam 124 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit dizi tanımını kullanarak pay ve paydadaki terimlerin katsayılarını oranlama.
m1=−(k−3)−8=15p=C\frac{m}{1} = \frac{-(k-3)}{-8} = \frac{15}{p} = C eşitliği elde edilir. Buradan m=Cm = C, k=8m+3k = 8m + 3 ve p=15mp = \frac{15}{m} bağıntıları bulunur.
Bir rasyonel ifadenin sabit dizi belirtmesi için dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları oranının sabit bir gerçel sayıya eşit olması gerekir.
2
Tam sayı koşullarını inceleyerek m'nin alabileceği olası değerleri listeleme.
mm ve pp tam sayı olduğundan mm, 1515'in bir tam sayı böleni olmalıdır. O halde m∈{−15,−5,−3,−1,1,3,5,15}m \in \{-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15\} olabilir.
p=15mp = \frac{15}{m} ifadesinde pp ve mm tam sayı olduğundan, mm değeri 1515'i tam bölmelidir.
3
Tanım kümesi koşulunu inceleyerek paydayı sıfır yapan pozitif tam sayıları belirleme.
Payda D(n)=n2−8n+pD(n) = n^2 - 8n + p ifadesidir. D(n)=0D(n) = 0 denkleminin kökleri pozitif tam sayılar ise, kökler toplamı n1+n2=8n_1 + n_2 = 8 ve kökler çarpımı n1n2=pn_1 n_2 = p olur. Bu koşulu sağlayan pozitif tam sayı kök çiftleri ve bunlara karşılık gelen pp değerleri şunlardır:
- n∈{1,7}  ⟹  p=7n \in \{1, 7\} \implies p = 7
- n∈{2,6}  ⟹  p=12n \in \{2, 6\} \implies p = 12
- n∈{3,5}  ⟹  p=15n \in \{3, 5\} \implies p = 15
- n∈{4,4}  ⟹  p=16n \in \{4, 4\} \implies p = 16
Dolayısıyla p∈{7,12,15,16}p \in \{7, 12, 15, 16\} durumlarında dizi bazı n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri için tanımsız olur.
Dizinin terimlerinin birer gerçel sayı belirtebilmesi için paydanın hiçbir pozitif tam sayı nn değeri için sıfır olmaması gerekir.
4
Bulunan olası mm değerlerini kontrol etme ve en büyük geçerli mm'yi belirleme.
mm değerlerinin en büyüğü olan m=15m = 15 için p=1p = 1 olur. 1∉{7,12,15,16}1 \notin \{7, 12, 15, 16\} olduğundan m=15m = 15 geçerlidir. (Eğer en büyük bölen olarak m=1m = 1 seçilseydi p=15p = 15 olurdu ve bu durum diziyi n=3n=3 ile n=5n=5 değerlerinde tanımsız yapardı).
mm'nin alabileceği en büyük değeri bulmak için bölenler büyükten küçüğe doğru test edilir.
5
Seçilen m=15m = 15 değeri için kk ve pp değerlerini bulup toplamı hesaplama.
m=15m = 15 için:
p=1515=1p = \frac{15}{15} = 1
k=8(15)+3=123k = 8(15) + 3 = 123
Buradan k+p=123+1=124k + p = 123 + 1 = 124 elde edilir.
Soruda istenen k+pk + p toplamını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde katsayılar oranı ve rasyonel dizilerde paydanın pozitif tam sayılar kümesinde sıfırdan farklı olması (tanımlılık) koşulu.
Soru 13Soru →
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için terimleri tanımlı olan (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizilerinin genel terimleri
an=n2+an−12n−ba_n = \frac{n^2 + an - 12}{n - b}
bn=n+cb_n = n + c
olarak verilmiştir.

a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere, (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri eşit diziler (an=bna_n = b_n) olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -56

Cevap

-56 olan seçenek doğrudur.
Dizilerin eşitliği kuralına göre paydanın sıfır olamayacağı ve n≥1n \ge 1 pozitif tam sayı değerleri için tanımlı kalması gerektiği şartı altında bc=12bc = 12 eşitliğini sağlayan bb negatif tam sayılarının tüm durumları incelenmiş ve toplam −56-56 olarak doğru bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizilerin eşitliği tanımını kullanarak genel terimleri eşitleyin.
n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için n2+an−12n−b=n+c\frac{n^2 + an - 12}{n - b} = n + c eşitliği sağlanmalıdır.
Eşit dizilerin her bir terimi birbirine eşit olmalıdır.
2
Eşitlikte içler dışlar çarpımı yaparak polinom eşitliği elde edin.
n2+an−12=(n−b)(n+c)=n2+(c−b)n−bcn^2 + an - 12 = (n - b)(n + c) = n^2 + (c - b)n - bc elde edilir. Katsayıların eşitliğinden a=c−ba = c - b ve bc=12bc = 12 bulunur.
İki polinomun eşit olabilmesi için aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
3
Dizinin tanım kümesi şartını uygulayın.
ana_n dizisinin her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için tanımlı olmas�� gerektiğinden payda sıfır olamaz. Yani n−b≠0  ⟹  b∉Z+n - b \neq 0 \implies b \notin \mathbb{Z}^+ olmalıdır. bb tam sayı olduğundan bb negatif tam sayı olmalıdır (b<0b < 0).
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılardır ve bu kümede genel terim tanımsız olamaz.
4
bc=12bc = 12 eşitliğini sağlayan negatif tam sayı çiftlerini bulun ve a+b+ca + b + c değerlerini hesaplayın.
Negatif çarpan çiftleri şunlardır:
- b=−1,c=−12  ⟹  a=−12−(−1)=−11  ⟹  a+b+c=−24b = -1, c = -12 \implies a = -12 - (-1) = -11 \implies a+b+c = -24
- b=−2,c=−6  ⟹  a=−6−(−2)=−4  ⟹  a+b+c=−12b = -2, c = -6 \implies a = -6 - (-2) = -4 \implies a+b+c = -12
- b=−3,c=−4  ⟹  a=−4−(−3)=−1  ⟹  a+b+c=−8b = -3, c = -4 \implies a = -4 - (-3) = -1 \implies a+b+c = -8
- b=−4,c=−3  ⟹  a=−3−(−4)=1  ⟹  a+b+c=−6b = -4, c = -3 \implies a = -3 - (-4) = 1 \implies a+b+c = -6
- b=−6,c=−2  ⟹  a=−2−(−6)=4  ⟹  a+b+c=−4b = -6, c = -2 \implies a = -2 - (-6) = 4 \implies a+b+c = -4
- b=−12,c=−1  ⟹  a=−1−(−12)=11  ⟹  a+b+c=−2b = -12, c = -1 \implies a = -1 - (-12) = 11 \implies a+b+c = -2
bb negatif tam sayısı için bc=12bc=12 eşitliğini sağlayan tüm durumları belirlemek gerekir.
5
Elde edilen farklı a+b+ca + b + c değerlerini toplayın.
(−24)+(−12)+(−8)+(−6)+(−4)+(−2)=−56(-24) + (-12) + (-8) + (-6) + (-4) + (-2) = -56 bulunur.
Soruda istenen tüm farklı durumların toplamını bulmaktır.

Anahtar Kavram

İki dizinin eşitliği için genel terimlerinin tanım kümesi olan pozitif tam sayılarda eşit ve tanımlı olması gerekir.
Sabit ve Eşit Diziler Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin