Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSabit ve Eşit Diziler
(an)(a_n) dizisi, genel terimi
an=2n2+k⋅n+12n2−m⋅n+6a_n = \frac{2n^2 + k \cdot n + 12}{n^2 - m \cdot n + 6}
olan bir sabit dizidir.

n2−m⋅n+6=0n^2 - m \cdot n + 6 = 0 denkleminin kökleri birer tam sayı olduğuna göre, kk sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevap: 24

Cevap

k sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 24'tür.
Dizinin sabit olması için pay ve paydanın katsayıları oranından k=−2mk = -2m elde edilir. İfadenin her pozitif tam sayı için tanımlı (bir dizi) olması gerektiğinden, paydanın pozitif tam sayı kökü olmamalıdır. Kökler çarpımı 6 olan tam sayı kök çiftlerinden yalnızca negatif olanlar ({−1,−6}\{-1, -6\} ve {−2,−3}\{-2, -3\}) bu şartı sağlar. Buradan mm değerleri −7-7 ve −5-5 bulunur. Bu değerlere karşılık gelen kk değerleri 1414 ve 1010 olup, toplamları 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin sabit dizi olma koşulunu belirleme
k=−2mk = -2m bağıntısı elde edilir.
Rasyonel ifadenin nn değişkeninden bağımsız olması için katsayılarının orantılı olması gerekir.
2
Dizinin tanım kümesi şartını analiz etme
Payda olan n2−m⋅n+6n^2 - m \cdot n + 6 ifadesinin pozitif tam sayı kökü olmamalıdır.
Bir dizinin terimleri tüm pozitif tam sayılar için tanımlı olmalıdır; paydanın sıfır olduğu n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri diziyi tanımsız yapar.
3
Paydanın köklerinin tam sayı olma durumlarını listeleme
Kök çarpımı 66 olduğundan olası kök kümesi çiftleri: {1,6}\{1, 6\} (buradan m=7m = 7), {2,3}\{2, 3\} (buradan m=5m = 5), {−1,−6}\{-1, -6\} (buradan m=−7m = -7) ve {−2,−3}\{-2, -3\} (buradan m=−5m = -5)
n2−m⋅n+6=0n^2 - m \cdot n + 6 = 0 denkleminin kökleri çarpımı c/a=6c/a = 6 ve kökleri tam sayıdır.
4
Pozitif tam sayı kökleri eleyerek geçerli mm ve kk değerlerini bulma
Geçerli kökler negatif olanlardır, yani m∈{−7,−5}m \in \{-7, -5\}. Buradan k=14k = 14 ve k=10k = 10 bulunur.
n=1,2,3,6n = 1, 2, 3, 6 değerleri pozitif tam sayı olup diziyi tanımsız yapacağından bu köklere sahip m=7m = 7 ve m=5m = 5 durumları elenir. Negatif köklere sahip olan m=−7m = -7 ve m=−5m = -5 durumlarında payda pozitif tam sayılarda sıfır olmaz.
5
Farklı kk değerlerinin toplamını hesaplama
14+10=2414 + 10 = 24
İstenen farklı kk değerlerinin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde rasyonel ifadelerin sadeleşme koşulu ve dizilerin pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olması zorunluluğu.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sabit ve Eşit Diziler

Bu konudan daha fazla soru