Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

Bir ff fonksiyonunun grafiği başlangıç noktasına (orijine) göre, bir gg fonksiyonunun grafiği ise ordinat eksenine (yy-eksenine) göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için
(x2+1)⋅f(−x)+g(−x)=x3+2x2+x−3(x^2 + 1) \cdot f(-x) + g(-x) = x^3 + 2x^2 + x - 3

eşitliği sağlandığına göre, f(2)+g(2)f(2) + g(2) toplamının değeri kaçtır?

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür.
Verilen fonksiyonların simetri kurallarına göre f tek, g çift fonksiyondur. Denklemde sırasıyla x = 2 ve x = -2 yazılarak elde edilen -5*f(2) + g(2) = 15 ve 5*f(2) + g(2) = -5 denklemlerinin ortak çözümünden g(2) = 5 ve f(2) = -2 bulunur. Bu iki değerin toplamı 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Grafik simetrilerini kullanarak fonksiyonların tek/çift olma durumlarını belirleme
f(-x) = -f(x) ve g(-x) = g(x) eşitlikleri tanımlanır.
Orijine göre simetrik fonksiyonlar tek fonksiyon, ordinat eksenine göre simetrik fonksiyonlar ise çift fonksiyondur.
2
Cebirsel eşitlikte x = 2 yazarak ilk denklemi elde etme
-5 * f(2) + g(2) = 15 denklemi bulunur.
İstenen f(2) ve g(2) değerlerine ulaşmak için değişken yerine 2 yazılarak simetri özellikleri uygulanır.
3
Cebirsel eşitlikte x = -2 yazarak ikinci denklemi elde etme
5 * f(2) + g(2) = -5 denklemi bulunur.
İki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak amacıyla x = -2 değeri yerine koyulur.
4
Elde edilen denklem sistemini ortak çözüm yöntemiyle çözme
g(2) = 5 ve f(2) = -2 değerleri bulunur.
Taraf tarafa toplama işlemiyle bilinmeyenlerden biri yok edilerek her iki değer ayrı ayrı hesaplanır.
5
Bulunan fonksiyon değerlerinin toplamını hesaplama
f(2) + g(2) = 3 olarak hesaplanır.
Soruda istenen toplam ifadesinin sonucuna ulaşılması amaçlanmaktadır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların tanımı, grafiksel simetrileri ve cebirsel özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

Bu konudan daha fazla soru