\cos(x) = -\frac{1}{2} denkleminin [0, 2\pi] aralığındaki köklerinin toplamının 2\pi radya… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$\cos(x) = -\frac{1}{2}$ denkleminin $[0, 2\pi]$ aralığındaki köklerinin toplamının $2\pi$ radyan olduğu ifadesi doğru mudur?

Cevap: Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin

[0, 2\pi]

aralığındaki köklerinin toplamı

2\pi

radyandır.

Denklemin

[0, 2\pi]

aralığındaki kökleri

\frac{2\pi}{3}

\frac{4\pi}{3}

radyandır. Bu değerlerin toplamı

2\pi

radyan yaptığı için önerme doğrudur.

Kosinüs değeri

-\frac{1}{2}

olan açıların birim çember üzerinde hangi bölgelerde yer aldığını belirleme.

Kosinüs fonksiyonunun değeri birim çember üzerindeki noktaların

x

-koordinatına karşılık gelir.

x

-koordinatının negatif olduğu bölgeler ikinci ve üçüncü bölgelerdir.

Kosinüsün negatif olduğu açı aralıklarını doğru tespit edebilmek için bu adım gereklidir.

Kosinüs değeri

\frac{1}{2}

olan birinci bölgedeki referans açıyı bulma.

Birinci bölgede

\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}

olduğundan referans açısı

\theta = \frac{\pi}{3}

radyandır.

Diğer bölgelerdeki açı değerlerini referans a��ı yardımıyla hesaplamak için bu adım gereklidir.

İkinci ve üçüncü bölgelerdeki kökleri hesaplama.

İkinci bölgedeki kök:

x_1 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}

radyandır. Üçüncü bölgedeki kök:

x_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}

radyandır.

Belirtilen aralıktaki tüm gerçel kökleri bulmak için bu adım gereklidir.

Bulunan köklerin toplamını hesaplama.

Köklerin toplamı:

x_1 + x_2 = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi

radyandır. Dolayısıyla ifade doğrudur.

Soruda verilen ifadenin doğruluğunu test etmek için köklerin toplamı hesaplanmalıdır.

Kosinüs fonksiyonunun belirli bir aralıktaki köklerinin bulunması ve toplanması.

Birim çember üzerinde

x = -\frac{1}{2}

dikey doğrusu çizilerek çemberi kestiği noktalar incelenebilir. İkinci ve üçüncü bölgedeki bu kesim noktalarının

x

-eksenine göre simetrik olması nedeniyle, bu noktaları temsil eden açıların toplamının geometrik olarak

2\pi

radyan olacağı doğrudan görülebilir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru