Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = 6 ve \int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 4\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \int_{1}^{2} f(x) \, dx integralinin değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{1}^{3} f(2x … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = 6

\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 4

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{2} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

İntegralin değeri 4'tür.

Dönüşümler yapıldığında

\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12

\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 8

değerleri bulunur. Belirli integralin sınırları bölme özelliği kullanılarak

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12 - 8 = 4

elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 4 olan seçenektir.

Birinci integralde değişken de��iştirme yöntemini uygulayalım.

u = 2x - 1 \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}

olur. Sınırlar güncellendiğinde;

x = 1 \implies u = 1

x = 3 \implies u = 5

elde edilir. Buradan,

\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = \int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = 6 \implies \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12

bulunur.

Verilen ilk integral ifadesini sadeleştirmek ve standart

f(x)

formuyla ifade edebilmek için değişken değiştirme uygulanır.

İkinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.

v = x^2 + 1 \implies dv = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dv}{2}

olur. Sınırlar güncellendiğinde;

x = 1 \implies v = 2

x = 2 \implies v = 5

elde edilir. Buradan,

\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = \int_{2}^{5} f(v) \frac{dv}{2} = 4 \implies \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 8

bulunur.

İkinci integral ifadesini standart

f(x)

integraline dönüştürmek için

x^2+1

ifadesine yeni bir değişken atanır.

Belirli integralin aralık bölme özelliğini kullanalım.

\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{5} f(x) \, dx

Elde ettiğimiz değerleri yerine yazarsak;

12 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + 8 \implies \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4

bulunur.

Sınırları

[1, 5]

olan integral,

[1, 2]

[2, 5]

aralıklarında iki ayrı integralin toplamı olarak yazılabilir.

Belirli integralde değişken değiştirme ve integralin sınırları bölme özelliği