Examkin

Soru

Zorluk: ZorParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={bx2+3,x≤−2∣x2−4∣x+2+ax−1,x>−2f(x) = \begin{cases} bx^2 + 3, & x \le -2 \\ \frac{|x^2 - 4|}{x + 2} + ax - 1, & x > -2 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=−2x = -2 noktasında limiti vardır. Ayrıca ff fonksiyonunun x=−2x = -2 noktasındaki limiti, x=1x = 1 noktasındaki limitinden 99 fazladır.

Buna göre, b−ab - a farkı kaçtır?

  1. A
    -6
  2. 3Cevap
  3. C
    4
  4. D
    5
  5. E
    9

Cevap

3
Fonksiyonun soldan ve sağdan limitleri eşitlenerek a ile b arasında a + 2b = 0 ilişkisi kurulur. İkinci koşuldan yola çıkarak a = -2 ve b = 1 değerlerine ulaşılır. Buradan istenen fark 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
x=−2x = -2 noktasındaki sağ ve sol limitler belirlenir.
Sol limit lim⁡x→−2−f(x)=4b+3\lim_{x \to -2^-} f(x) = 4b + 3 ve sağ limit lim⁡x→−2+f(x)=3−2a\lim_{x \to -2^+} f(x) = 3 - 2a olarak bulunur.
Fonksiyonun bu noktada limitinin olması için sağ ve sol limitlerin birbirine eşit olması gerekir.
2
Sağ ve sol limitler birbirine eşitlenerek aa ve bb arasındaki ilk denklem elde edilir.
4b+3=3−2a  ⟹  a+2b=04b + 3 = 3 - 2a \implies a + 2b = 0 denklemi bulunur.
Limit varlığı için sağdan limit soldan limite eşit olmalıdır. Sağ limit hesaplanırken x→−2+x \to -2^+ için x>−2x > -2 olduğundan x2−4<0x^2 - 4 < 0 olur ve mutlak değer dışına işaret değiştirerek çıkar.
3
x=1x = 1 noktasındaki limit değeri hesaplanır.
1>−21 > -2 olduğundan ikinci parça kullanılır ve lim⁡x→1f(x)=a\lim_{x \to 1} f(x) = a elde edilir.
İstenen limit noktası olan 1 değeri kritik nokta değildir ve ikinci parçanın tanım kümesindedir.
4
İkinci koşul kullanılarak aa ve bb değerleri bulunur.
3−2a=a+9  ⟹  a=−23 - 2a = a + 9 \implies a = -2 ve a+2b=0  ⟹  b=1a + 2b = 0 \implies b = 1 elde edilir.
Soruda verilen −2-2 noktasındaki limitin 11 noktasındaki limitten 99 fazla olduğu bilgisi denklemleştirilerek çözülür.
5
b−ab - a farkı hesaplanır.
b−a=1−(−2)=3b - a = 1 - (-2) = 3 olarak bulunur.
Bizden istenen ifade b−ab - a farkıdır.

Anahtar Kavram

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Bu konudan daha fazla soru