Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Dik koordinat düzleminde, y=x2−(m−1)x+4y = x^2 - (m - 1)x + 4 parabolü y=x+3y = x + 3 doğrusuna teğettir. Buna göre, doğrunun parabole teğet olduğu noktanın apsisinin alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

  1. A
    -4
  2. B
    -2
  3. -1Cevap
  4. D
    1
  5. E
    4

Cevap

Doğrunun parabole teğet olduğu noktanın apsisinin alabileceği farklı değerlerin çarpımı −1-1 olur.
Ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşitlendiğinde m=2m = 2 veya m=−2m = -2 elde edilir. Bu mm değerlerine karşılık gelen çift katlı kökler (teğet noktalarının apsisleri) sırasıyla 11 ve −1-1 olur. Bu değerlerin çarpımı ise −1-1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini elde edin.
x2−(m−1)x+4=x+3  ⟹  x2−mx+1=0x^2 - (m - 1)x + 4 = x + 3 \implies x^2 - mx + 1 = 0
Parabol ile doğrunun kesişme veya teğet olma durumlarını incelemek için ortak çözüm yapılması gerekir.
2
Parabol ile doğru birbirine teğet olduğundan ortak çözüm denkleminin diskriminantını sıfıra eşitleyin.
Δ=(−m)2−4⋅1⋅1=0  ⟹  m2−4=0  ⟹  m=2 veya m=−2\Delta = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0 \implies m^2 - 4 = 0 \implies m = 2 \text{ veya } m = -2
Bir doğru bir parabole teğet ise, ortak çözüm denkleminin tek bir kökü (çift katl�� kök) olmalıdır, bu da diskriminantın sıfır olmasını gerektirir.
3
Her bir mm değeri için teğet noktasının apsisini bulun. İkinci dereceden ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminde Δ=0\Delta = 0 ise çift katlı kök (apsis) x=−b2ax = -\frac{b}{2a} formülüyle bulunur.
x=m2x = \frac{m}{2} olur. Buradan, m=2m = 2 için x1=1x_1 = 1 ve m=−2m = -2 için x2=−1x_2 = -1 elde edilir.
Teğet noktasının apsis değerlerini belirlemek için bulduğumuz parametre değerlerini kök formülünde yerine koymalıyız.
4
Elde edilen teğet noktalarının apsis değerlerini çarpın.
x1⋅x2=1⋅(−1)=−1x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-1) = -1
Soru bizden teğet noktalarının apsislerinin alabileceği farklı değerlerin çarpımını istemektedir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun teğet olması durumunda ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfırdır (\Delta = 0) ve teğet noktasının apsisi bu denklemin çift katlı köküdür.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Bu konudan daha fazla soru