Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff tek fonksiyonu için
∫−13f(2x−3) dx=6\int_{-1}^{3} f(2x-3) \, dx = 6
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫12(x⋅f(2x2+1)+4x) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} (x \cdot f(2x^2+1) + 4x) \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    5
  2. B
    -10
  3. -1Cevap
  4. D
    14
  5. E
    -4

Cevap

-1 değeri doğrudur.
İntegralin lineerlik özelliği ve değişken değiştirme kuralları doğru uygulanıp tek fonksiyon simetrisiyle ∫35f(x) dx=−12\int_{3}^{5} f(x) \, dx = -12 değeri elde edildikten sonra ikinci integral −3+2=−1-3 + 2 = -1 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integralde u=2x−3u = 2x-3 değişken değiştirmesi yapılması
∫−53f(u) du=12\int_{-5}^{3} f(u) \, du = 12 elde edilir.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=−1  ⟹  u=−5x = -1 \implies u = -5 ve x=3  ⟹  u=3x = 3 \implies u = 3 olarak güncellenir. Buradan 12∫−53f(u) du=6  ⟹  ∫−53f(x) dx=12\frac{1}{2} \int_{-5}^{3} f(u) \, du = 6 \implies \int_{-5}^{3} f(x) \, dx = 12 bulunur.
2
ff fonksiyonunun tek fonksiyon olma özelliğinin kullanılması
∫35f(x) dx=−12\int_{3}^{5} f(x) \, dx = -12 olarak bulunur.
ff tek fonksiyon olduğundan ∫−33f(x) dx=0\int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 0 olur. Bu durumda ∫−53f(x) dx=∫−5−3f(x) dx+∫−33f(x) dx=12  ⟹  ∫−5−3f(x) dx=12\int_{-5}^{3} f(x) \, dx = \int_{-5}^{-3} f(x) \, dx + \int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 12 \implies \int_{-5}^{-3} f(x) \, dx = 12 olur. Tek fonksiyon simetrisinden ∫−5−3f(x) dx=−∫35f(x) dx  ⟹  ∫35f(x) dx=−12\int_{-5}^{-3} f(x) \, dx = -\int_{3}^{5} f(x) \, dx \implies \int_{3}^{5} f(x) \, dx = -12 elde edilir.
3
İkinci integralin lineerlik özelliği ile iki parçaya ayrılması ve t=2x2+1t = 2x^2+1 dönüşümü yapılması
İstenen integral değeri −3+2=−1-3 + 2 = -1 olarak bulunur.
∫124x dx=[2x2]12=4−2=2\int_{1}^{\sqrt{2}} 4x \, dx = [2x^2]_{1}^{\sqrt{2}} = 4 - 2 = 2 olur. Diğer parça olan ∫12x⋅f(2x2+1) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(2x^2+1) \, dx için t=2x2+1t = 2x^2+1 dönüşümü yapılırsa dt=4x dx  ⟹  x dx=dt4dt = 4x \, dx \implies x \, dx = \frac{dt}{4} olur. Sınırlar x=1  ⟹  t=3x = 1 \implies t = 3 ve x=2  ⟹  t=5x = \sqrt{2} \implies t = 5 olur. Buradan 14∫35f(t) dt=14(−12)=−3\frac{1}{4} \int_{3}^{5} f(t) \, dt = \frac{1}{4} (-12) = -3 elde edilir. Toplam sonuç −3+2=−1-3 + 2 = -1 olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve tek fonksiyonların simetrik aralıktaki integral özelliklerinin kullanılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru