Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(2x+1) dx=12\int_{1}^{4} f(2x+1) \, dx = 12
∫23f(3x−3) dx=5\int_{2}^{3} f(3x-3) \, dx = 5
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫69f(x) dx\int_{6}^{9} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    7
  2. 9Cevap
  3. C
    17
  4. D
    19
  5. E
    39

Cevap

9
Doğru cevap olan 9 değeri, her iki integralde de değişken değiştirme yapılarak integral sınırlarının ve diferansiyel ifadelerinin doğru şekilde güncellenmesi ve ardından belirli integralin parçalama özelliği kullanılarak aralarındaki farkın alınması ile elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
∫39f(u) du=24\int_{3}^{9} f(u) \, du = 24
u=2x+1u = 2x+1 dönüşümü yapıldığında du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar için x=1  ⟹  u=3x=1 \implies u=3 ve x=4  ⟹  u=9x=4 \implies u=9 elde edilir. Buradan ∫39f(u)⋅du2=12  ⟹  ∫39f(u) du=24\int_{3}^{9} f(u) \cdot \frac{du}{2} = 12 \implies \int_{3}^{9} f(u) \, du = 24 bulunur.
2
İkinci integral için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
∫36f(v) dv=15\int_{3}^{6} f(v) \, dv = 15
v=3x−3v = 3x-3 dönüşümü yapıldığında dv=3 dx  ⟹  dx=dv3dv = 3 \, dx \implies dx = \frac{dv}{3} olur. Sınırlar için x=2  ⟹  v=3x=2 \implies v=3 ve x=3  ⟹  v=6x=3 \implies v=6 elde edilir. Buradan ∫36f(v)⋅dv3=5  ⟹  ∫36f(v) dv=15\int_{3}^{6} f(v) \cdot \frac{dv}{3} = 5 \implies \int_{3}^{6} f(v) \, dv = 15 bulunur.
3
Belirli integralin sınırları parçalama özelliği kullanılarak hedef integral hesaplanır.
∫69f(x) dx=9\int_{6}^{9} f(x) \, dx = 9
∫39f(x) dx=∫36f(x) dx+∫69f(x) dx\int_{3}^{9} f(x) \, dx = \int_{3}^{6} f(x) \, dx + \int_{6}^{9} f(x) \, dx yazılabilir. Bulunan değerler yerine yazıldığında 24=15+∫69f(x) dx  ⟹  ∫69f(x) dx=924 = 15 + \int_{6}^{9} f(x) \, dx \implies \int_{6}^{9} f(x) \, dx = 9 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yapıldığında integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve integralin aralık bölme özelliği kullanılarak hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru