\int_{0}^{1} x^5 (x^3 + 1)^4 \, dx integralinin değeri kaçtır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\int_{0}^{1} x^5 (x^3 + 1)^4 \, dx

integralinin değeri kaçtır?

İntegralin değeri

\frac{43}{30}

olarak bulunur.

İntegral

u = x^3 + 1

dönüşümüyle çözüldüğünde sınırların

x = 0

için

u = 1

x = 1

için

u = 2

olarak güncellenmesiyle integralin değeri

\frac{43}{30}

bulunur.

Değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

u = x^3 + 1

dönüşümü yapıldığında

du = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{du}{3}

elde edilir. Ayrıca

x^3 = u - 1

olur.

İntegral içindeki

x^5

ifadesini

x^3 \cdot x^2

şeklinde ayırarak dönüşümü tamamlamak amacıyla bu işlem yapılır.

Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 0 \implies u = 0^3 + 1 = 1

, üst sınır için

x = 1 \implies u = 1^3 + 1 = 2

olur.

x

de��işkeninden

u

değişkenine geçerken integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Yeni değişkenlere göre integral oluşturulur ve hesaplanır.

\int_{1}^{2} (u - 1) \cdot u^4 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{1}^{2} (u^5 - u^4) \, du

elde edilir.

Değişken ve sınır dönüşümleri integrale yerleştirilir.

Elde edilen integralin değeri hesaplanır.

\frac{1}{3} \left[ \frac{u^6}{6} - \frac{u^5}{5} \right]_1^2 = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{64}{6} - \frac{32}{5} \right) - \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{5} \right) \right] = \frac{1}{3} \left[ \frac{64}{15} - \left( -\frac{1}{30} \right) \right] = \frac{1}{3} \left( \frac{129}{30} \right) = \frac{43}{30}

bulunur.

Temel integral alma ve yerine koyma kuralları uygulanır.

Değişken Değiştirme Yöntemi ile Belirli İntegral Hesabı

Tahmini Süre:2m 30s

Soru